p_i는 임의의 단사인 소수열,Q_n=Q(√p_1,...,√p_n)이라 하자.

우선 임의의 자연수 n에 대해 √p_(n+1)∉Q_n,√(p_(n+1))/√(p_(n+2))∉Q_n임을 보이자.

n=1인 경우를 보자.

√p_2∉Q_1=Q(√p_1)를 우선 보이자.

Q_1의 임의의 원소는 유리수 a,b가 유일하게 존재해 a+b√p_1로 표현할 수 있다.

p_2=(a+b√p_1)^2=a^2+b^2p_1+2ab√p_1를 만족하는 유리수 a,b를 생각하자.

{1,√p_1}이 선형독립이므로 2ab√p_1=0이고 즉 a=0이거나 b=0이다.

b=0이면 p_2=a^2인데 그럼 a는 유리수임에 모순이고 a=0이면 p_2=b^2p_1인데 이도 마찬가지로 b가 유리수임에 모순이다.

즉 Q_1에선 x^2-√p_2은 해가 없으므로 √p_2∉Q_1=Q(√p_1)이다.

√(p_2)/√(p_3)∉Q_1도 보이자.

아까와 같이 유리수 a,b를 생각해 a^2+b^2p_1+2ab√p_1=p_2/p_3라 하자.

그럼 마찬가지로 a=0이거나 b=0인데 b=0이면 a^2=p_2/p_3인데 이는 a가 유리수임에 모순이다.

a=0이면 b^2=p_2/(p_3p_1)인데 이 경우도 b가 유리수임에 모순으로 √(p_2)/√(p_3)∉Q_1이다.

그럼 n≤k에서 √p_(n+1)∉Q_n,√(p_(n+1))/√(p_(n+2))∉Q_n라고 하자.

그럼 √p_(k+1)∉Q_k이기에 Q_(k+1)의 임의의 원소는 Q_k의 원소 a,b가 유일하게 존재해 a+b√p_(k+1)꼴이다.

a^2+b^2p_(k+1)+2ab√p_(k+1)=p_(k+2)를 생각하자.

그러면 {1,√p_(k+1)}가 선형독립이므로 a=0이거나 b=0이다.

b=0이면 a^2=p_(k+2)이므로 a∈Q_k인데 이는 p_i가 임의의 단사인 소수열임과 귀납가설에 모순이다.

즉 a=0으로 b^2=p_(k+2)/p_(k+1)가 된다.

귀납가설에 의해 √(p_(k+1))/√(p_(k+2))∉Q_k인데 p_(k+2)와 p_(k+1)을 서로바꾼 소수열을 생각하면 b는 Q_k의 원소이므로 모순이다.

즉 √p_(k+2)∉Q_(k+1)이다.

이번엔 √(p_(k+2))/√(p_(k+3))∉Q_(k+1)을 보이자.

Q_(k+1)의 원소를 아까처럼 a+b√p_(k+1)라고 쓰자.

a^2+b^2p_(k+1)+2ab√p_(k+1)=p_(k+2)/p_(k+3)을 생각하자.

{1,√p_(k+1)}가 선형독립이므로 a=0이거나 b=0이고 다시 b=0이라 하자.

그럼 a^2=p_(k+2)/p_(k+3)인데 a∈Q_k이므로 적당히 순서를 바꾼 소수열을 생각하면 모순이다.

그러므로 a=0이라 하면 b=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1))∈Q_k이다.

즉 유일한 Q_(k-1)의 원소 x,y에 대해 x^2+y^2p_k+2xy√p_k=p_(k+2)/(p_(k+3)p_(k+1))이다.

{1,√p_k}가 선형독립 이므로 x=0이거나 y=0이다.

y=0이면 x^2=p_(k+2)/(p_(k+3)p_(k+1))인데 x=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1))∈Q_(k-1)으로 √(p_(k+3)p_(k+1))/√(p_(k+2))∈Q_(k-1).

여기서 Q_(k-1)(√p_(k+3))=Q'이라 하면 √(p_(k+1))/√(p_(k+2))∈Q'가 되는데 √(p_(k+1))/√(p_(k+2))∉Q_k가 가정이고 p_n이 임의이므로 모순이기에 x=0.

즉 y^2p_k=p_(k+2)/(p_(k+3)p_(k+1))이 되고 y=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1)p_k)∈Q_(k-1)가 됨.

이걸 반복하면 x=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1)p_k...p_r)∈Q_(r-2)가 나오거나 y=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1)p_k...p_r)∈Q_(r-1)인데

전자는 Q_(r-2)(√(p_(k+3)),√(p_k),√(p_(k-1)),...√(p_r))=Q*라 하면 아까랑 같은 논리로 √(p_(k+1))/√(p_(k+2))∈Q*라서 모순이고

즉 y=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1)p_k...p(r))∈Q_(r-1)인 경우밖에 없음.

그런데 결국 y=√(p_(k+2))/√(p_(k+3)p_(k+1)p_k...p_2,p_1)∈Q이 되어서 이것도 모순임.

즉 다시 쭉 돌아가서 √(p_(k+2))/√(p_(k+3))∉Q_(k+1)임도 알아냈음.

임의의 자연수 n에 대해 √p_(n+1)∉Q_n,√(p_(n+1))/√(p_(n+2))∉Q_n임을 보였음.

즉 Q_n에서 {1,√p_1,√p_2,...,√p_n}이 선형독립임.

p_n을 n번째 소수로 두고 n이 2 이상일 때 1+√2+...+√n은 Q_n의 원소고 √2의 계수는 분명 0이 아님.

그러므로 1+√2+...+√n은 무리수임.


이렇게 하면 어디서 오류가 있나요?