선형 이라는 말이 주로 선형대수학에서 다루는데, 이게 보기보다 재미있는 용어임.
우리가 중학교 때 배우는 도형의 합동(평행이동, 대칭이동, 회전이동), 이걸 나아가 강체의 운동으로 생각해보면,
운동 또는 변환 또는 대응을 f:R^n->R^n 의 부분집합의 함수 중에서 거리동형인 함수임을 알 수 있음.
그러니까, d(x,y)=d( f(x), f(y) ), 여기서 거리함수 d는 보통 피타고라스 정리를 일반화한 n루트 ( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + (a3-b3)^2 +...+(an-bn)^2 )
선형대수학에서는 함수f를 변환일 경우 트랜스레이션의 T, 선형변환(리니어 트랜스레이션)의 L, 으로 표현하는데
여기서 한 가지 재밌는 점은 detL^2 =1이 나온다는 가임.
여기서 평행이동, 회전이동은 detL=1, 뒤집는 이동은 detL=-1
또 재밌는 것이 L^t = L^-1,
즉 LL^t=L^tL= (100..
(010...
(... 001) 행렬이 나옴.
이런L들은 직교행렬 이라고 부르고, 행들끼리 열들끼리 직교함.
또한 이러한 거리 보존 행렬L들은 적당한 이동행렬B와 적당한 회전행렬A에 대해서
Lx=Ax + B 형태로 표현할 수 있음. 마치 일차함수(선형함수) 형태와 유사한 표기형태임.
선형대수학에서 선형함수의 정의는
L:R^n->R^m, L(x+y)=L(x)+L(y), L(ax)=aL(x)인데
고대부터 중세까지 유클리드 기하에서 주요 주제 중 하나인 도형의 합동을 연구하다 보니,
후대에 데카르트 좌표, 해밀턴의 복소수, 사원수를 넘어 벡터공간등의 발전으로
자연스럽게 R^n상의 함수 그 중에서도 선형함수에 관심을 가졌고
선형대수학으로 많은 것들을 할 수 있었음.
우리가 하는 미분 같은 것들도, 어떻게 보면, 어떤 함수를 선형근사한 함수라고 볼 수도 있음.
평면,공간을 극좌표나 다른 좌표로 나타낼 수도 있지만, 좌표평면, 좌표공간(특별히 수직이고 기저의 크기가 1로 하는) 으로 나타낸 것을
우리가 익숙하고 편안하게 생각하며 계산하기 쉽게 다루는 것도 선형적인 것의 연장이라고 볼 수도 있음
detL도 상당히 재미있음.
det라는 것은 단위가 변할 때 사용하는 보정값 같은 개념임.
예를 들어 만약 1달러 =1,100원 이라면 x달러 =1,100x원 으로 표현 할 수 있고 여기서 1,100 같은 역할을 detL이 한다고 볼 수 있음.
가령 L=R^2->R^2 라고 한다면 크기가 1인 사각형 (0,0), (1,0), (0,1), (1,1)이 만드는 사각형이
변환 후의 넓이를 표현할 때 그 넓이가 detL임.
여기서 위 사각형이 변환 도중 뒤집어 진다면 detL이 음수값이 나오고,
미분할 때, dy=f'(x)dx 라고 하는 것도 f'(x)라는 것도 함수값들의 변화율을 보는 관점을 달리할 때의 보정값 같은 것으로 볼 수도 있음.
선형이라는 것은 미분에서 쓰일 뿐 아니라 생각보다 여기저기에서 비슷한 개념들이 갑툭튀 하는데,
생각보다 많이 나오고, 생각보다 유용한 개념이라서 잘 익혀주면 좋을 덧 같음.
선형대수학은 벡터공간(선형공간)과 선형사상(선형변환)을 다루는 학문인데
사실상 기저와 기저변환을 다루는 것이 대부분임, 기저변환을 할 때는 보정값 생각해주는 것이 중요하고