어제 도르레 문제에 관해 질문을 올렸고 그에대한 답변을 받았었음
(https://arca.live/b/physics/44438524?p=1)
근데 읽다보니 새로운 의문이 생겼는데, 답변해준 사람이 이렇게 답해주더라




왠지 알고가야 할꺼 같은느낌이 들어서 오늘 공부할때 고민을 좀 해봤음
이거 평가좀 해주라


(내 생각에서 추리해서 쓴거라 개소리 오질수 있음)


=============== <개소리 주의!> ===================

Ans1) 일단 질문 링크 들어가 보면 알겠지만, 도르레의 질량들의 위치(position),에너지  에 작용하는 요소들이
서로 얽혀있음
이걸 다시말하면 라그랑지안이 얽혀있다는 소리인데, 이걸 따로 따로 분석하게되면 뭔일이 일어나나면
다른계의 운동이 일어날시 시간에 따라 라그랑지안이 변하게 됨
그럼 라그랑지안이 시간에 따라 변하는게 뭐가 문제냐 할수 있는데


(정적 작용의 원리(최소작용의 원리) -https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary-action_principle )

이 내용에 따르면, 계가 운동경로를 잡을때 '액션(작용)이 고정' 되는 경로를 실제 경로로써 잡는다
라는 내용임
잘 아는 내용일텐데, 이 내용에서 제일 중요한건 dA=0 이라는 거임 (A=action)
이제 다음을 봐야함



(헤밀턴의 원리-  https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton%27s_principle)

역시 잘아는 해밀턴의 원리임 ,형광팬 그어놓은 곳(번역)을 보게 되면,
계가 취하는 경로= '액션이 고정된' 경로 를 취한다 할수 있음

이제 저 내용들을 정리해보면

액션= 라그랑지안의 시간적분인데, 이 액션이 변하지 않아야 하는거지

그래서 라그랑지안은 왜 시간에 따라 정적이어야 하냐?
사실 이거에 대해선 나도 답을 완전히 낸게 아닌데  나름대로 답을 내 보겠음

일단 이 문제자체는 고립계임, 즉 에너지의 교환이 없는계라는 거지,
다시말해서 시간에따라 역학적 에너지는 보존이 되는데, 이게 다르게 말하면 dE/dt =0  이고 , E=U+T 이므로,
T,U 가 시간에 독립적 이어야하고, 결론적으로 라그랑지안이 시간에 독립적이어야 하지
 
근데 해밀턴의 원리에서 말하길, 작용의 변분 이 0이어야 하네?
 일단 라그랑지안이 시간에 독립적이어야 하는건 이문제에서 확연하게 드러났는데 ,
실제로 독립적인가 봤더니, 맨위에서 말했듯이 라그랑지안이 얽혀있어 시간에대해 독립적이지 못해
이건 결국  라그랑지안 을 따로 따로 분석할경우 해밀턴의 원리가 지켜질수 없다는 말인거지,

즉 해밀턴의 원리를 만족하면서도, 질량각각의 운동방정식을 구하기 위해선, 계 전체의 라그랑지안을 구하는 수 말고는 없는거임


Ans 1 1줄요약) 시간에 대해 정적이고 독립적인 라그랑지안을 구할수 없다. 그니까  따로 구하는건 안된다

======================================================
Ans3 ) Ans 1에 따라, 이문제에서 시간에 대해 라그랑지안은 독립적이어야 돼
근데 이 문제에서 system 은 고립계 이니까, 에너지의 총량은 보존되겠지
(열역학 법칙에서 그렇다 카더라)
또 각 질량의 에너지가 Ans1 에서 연관되어 있다 했으므로
정리 해보면 , 계의 라그랑지안 = 물체 각각의 라그랑지안의 합  이 되겠네
또 단순히  같은종류의 에너지를 더한다고 해서 그게 계의 퍼텐셜, 키네틱 에너지가 될수있는 이유는
역시 에너지 보존법칙에 의해 , 모든 물체의 퍼텐셜 합=system 의 퍼텐셜 합 이 될수 있으니까





추가 질문


0) 내 논리가 틀리지 않았다는 가정하에, 보존계에서 라그랑지안은 시간불변이라는건데 , 실제로 맞아?

1) 솔직히 햇갈려서 그러는데

액션의 변분= (라그랑지안*실재경로의 변분) 의 시간적분 맞지?

2) stationary action principle 에서 first order 가 뭐말하는 건지 모르겠어
번역에선 1차 라고 나오던데......