1. https://arca.live/b/math/7228225
2. https://arca.live/b/math/7304954
맨 처음 부분만 쓰고 너무 귀찮아져서 연중했다가 4개월만에 다시 하는 프로젝트입니다ㅋㅋㅋ
1,2편은 그냥 군, 환, 체가 무엇인지 설명만 했는데요, 이제는 조금 들어가보도록 하겠습니다.
---------------------------
일단 가볍게 부분군부터 봅시다.
어떤 집합을 하나 만들어놓았으면 당연히 따라오는 생각들 중 하나는 부분집합일 겁니다.
군도 어찌되었든 집합이니까, 부분집합을 생각할 수가 있을 텐데요, 그걸 부분군이라고 부릅시다.
다만 부분집합을 생각할 때는 아무렇게나 대충 만들어도 문제가 없었겠지만, 부분군을 만들 때는 군의 성질을 만족하도록 해야겠죠.
군의 조건을 다시 한 번 생각해봅시다.
1. 닫혀 있다.
2. 결합법칙이 성립한다.
3. 항등원이 존재한다.
4. 역원이 존재한다.
부분군도 당연히 이걸 만족해야 하고, 보통 어떤 군 H가 G의 부분군이 되는지 확인할 때는
a,b∈H에 대해서 ab∈H, a^(-1)∈H인지를 확인하면 됩니다.
간단한 예를 생각해보면 2Z가 Z의 부분군이 되는지를 보면 되겠네요.
스스로 할 수 있을 겁니다.
-----------------------------------
부분군을 만들었으니 부분군을 가지고 반을 나눠봅시다.
좀 전에 Z와 2Z를 예시를 들었으니 이걸로 계속해보자면
Z는 2Z와 1+2Z로 나눌 수 있습니다.
다른 예시를 들어볼까요?
S3의 부분군 H={1, (2 3)}을 생각해보면 H, (1 2)H, (1 3)H 3개의 반으로 나눌 수 있을 겁니다.
이렇게 나눠진 반들을 수학적으로는 "잉여류"라고 부릅니다.
이러한 잉여류의 개수를 지수(index)라고 부르고, |G:H|로 표기합니다.
어떤 군 G의 원소의 개수를 |G|라고 표시하기 때문에 일맥상통하는 표기겠네요.
예를 들어...
Z의 부분군 2Z를 생각해보면 |Z:2Z|=2, |S3:H|=3이 되겠네요
그러면 너무나도 당연한, 그러나 너무나도 중요한 정리 하나가 튀어나옵니다.
라그랑주의 정리(Lagrange Theorem)이라고 부르는 건데요,
H가 G의 부분군이면 |G|=|G:H||H|라는 것입니다. (역은 성립하지 않습니다)
증명은 간단합니다.
G의 원소의 개수는 당연히 부분군 H의 원소에다가 잉여류들을 곱한 것들과 같겠죠. 당연한 정리입니다.
이걸 통해서 정말 간단한 예시를 하나 들어볼까요?
위수 12인 군 Z12를 생각해봅시다. 여기에는 원소가 8개인 부분군이 있을까요?
있다면 12=8*|G:H|여야 하는데 이건 말이 안 되니까 없다가 되겠습니다.
또다른 예시를 하나 들어볼까요?
위수가 소수 p인 군 G를 생각해봅시다. 여기에는 부분군이 뭐가 있을까요?
p의 약수는 1과 p밖에 없으니 원소 1개짜리 군 {e}와 G 자기자신밖에 없을 겁니다. (e는 항등원입니다.)
조금만 더 생각해봅시다.
G의 원소 a를 가지고 군을 만들면 <a>={a, a^2, ..., a^n=e}일테고, 따라서 |<a>|는 |G|의 약수가 되고
a^|G|=e가 됩니다.(|G|=nk이므로 a^|G|=a^nk=e^k=e)
그러면 어떤 소수 p에 대해 Zp에서 0을 뺀 곱셈군 Zp*={1,2,...,p-1}을 생각했을 때
p의 배수가 아닌 a를 선택하면 a∈Zp*이므로 a^(p-1)=1 (mod p)가 되므로
----------------------------------------
맨 위에 언급했던 S3의 부분군 H={1, (2 3)}의 잉여류 H, (1 2)H, (1 3)H를 생각해보면
(1 2)H={(1 2), (1 2)(2 3)}={{1 2), (1 2 3)}
H(1 2)={(1 2), (2 3)(1 2)}={(1 2), (1 3 2)}로 서로 다른 결과가 나옴을 알 수 있습니다.
곱하는 위치가 달라진다고 결과가 달라지면 약간 곤란한데요,
