중~고등학교 수학을 증명하는 문제로만 이루어져 있습니다. 난이도는 제 기준이니 개인별 격차가 있을 수 있습니다.
1. 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 있다. 여기서 AB = DE, BC = EF, CA = FD라고 하자. 이때 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F를 증명하라. 즉, 세 변의 길이가 같은 삼각형은 세 각의 크기도 같음을 보여라. (난이도 하)
2. 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 있다. 여기서 AB = DE, BC = EF, ∠B=∠E라고 하자. 이때 ∠A=∠D, ∠C=∠F, CA = FD를 증명하라. 즉, 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 같은 삼각형은 나머지 정보도 일치함을 보여라. (난이도 하)
3. 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 있다. 여기서 AB = DE, ∠A=∠D, ∠B=∠E라고 하자. 이때 , ∠C=∠F, CA = FD, BC = EF를 증명하라. 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같은 삼각형은 나머지 정보도 일치함을 보여라. (난이도 하)
* 1 ~ 3은 SSS, SAS, ASA 합동이라고 하며 중학교 때 열심히 썼던 성질들이 정당한 지를 묻는 문제입니다. 고등학교 수학까지만 써도 충분합니다.
4. 모든 삼차방정식은 근을 가짐을 증명하라. (난이도 중)
5. 모든 (2n + 1)차 방정식은 근을 가짐을 증명하라. (난이도 중)
6. 연립방정식 
가 유일한 근 (x,y)를 갖는 것과 
는 동치임을 보여라. (난이도 하)
7. 연립방정식 
가 유일한 근 (x,y,z)를 갖는 것과 
은 동치임을 보여라. (난이도 중, 노가다 심함)
8. 삼차방정식 
가 중근을 갖는 것과 
는 동치임을 보여라. (난이도 중)
* 4 ~ 8은 방정식의 해의 판별과 관련된 문제입니다. 고등학교 수학과 노가다면 충분할 것 같습니다.
9. S, T는 실수의 순서쌍 (p, q)의 집합이다. 어떤 일대일 대응 f : S → T가 존재하여 a,b∈S에 대해 d(a, b) = d(f(a), f(b))라고 한다. (d는 두 점 사이의 거리이다.) 그러면, f는 평행이동과 회전이동, 대칭이동 또는 그들의 합성함수로 표현된다는 것을 증명하라. (난이도 상)
10. (9)의 문제가 3차원에서는 어떻겠는가? (난이도 상)
11. 삼각형 ABC와 DEF가 합동이라고 하자. 이때 S를 ABC 위의 점들의 집합, T를 DEF 위의 점들의 집합이라고 하자. 그러면 d(a, b) = d(f(a), f(b))를 만족하는 함수 f : S → T가 존재함을 보여라. (난이도 상)
12. 어떤 p가 존재하여 y = 1/x위의 점들의 집합 S와 x^2 - y^2 = p위의 점들의 집합 T 사이에 (9)의 함수가 존재함을 보여라. (난이도 상)
* 9 ~ 12는 다시 합동에 대한 문제입니다. 12는 xy = 1이 정말로 쌍곡선인지에 대한 문제네요.
