1, 2, 3.
세 개의 조건이 주어졌을 때 삼각형이 유일하게 결정된다는 것을 보이는 것으로 충분하다. 삼각형의 결정 조건은 세 꼭짓점의 위치관계이다. 삼각형이 만들어지기 위한 조건은 만족한다고 가정할때,
1. 세 변의 길이가 주어진 경우, 두 변이 한 꼭짓점을 공유하게 그리면, 세 개의 꼭짓점이 생기는데, 다른 변과 공유되지 않은 두 꼭짓점 사이의 거리가 나머지 한 변의 길이가 되는 점은 두 군데이고, 두 가지 삼각형은 서로 대칭이므로 합동이다.
-원위의 점과 원 밖의 고정된 점 사이의 거리를 생각하자.
2. 한 각의 크기가 주어진 경우 해당 각을 끼고 있는 두개의 선분의 길이가 주어졌을때, 자명하게 세 꼭짓점이 유일하게 결정된다.
3. 두 각의 크기가 주어진 경우 길이가 주어진 한 변에서 나머지 두 각을 그리면 유일하게 마지막 꼭짓점이 두 반직선의 교점으로 주어진다.
4, 5. (2n+1)차 방정식은, (n은 0 이상의 자연수) f(x)=0의 꼴로 나타냈을 때 lim x->INF f(x)와 lim x->-INF f(x)가 최고차항의 계수의 부호에 따라 INF,-INF 또는 -INF,INF로 주어진다. f(x)가 어떤 임의의 (2n+1)차식이더라도 보일 수 있다.
다항함수는 연속이므로 중간값 정리에 따라 f(x)=0인 어떤 x가 하나 이상 존재함을 보장할 수 있다.
6, 7. 각 등식을 도형의 방정식이라 두고 유일한 교점을 가질 조건 : 어떤 도형도 평행하지 않다를 만족시키는 경우로 찾을 수 있다. algebaric하게 해결할 수도 있다.
8. 좌변을 f(x)라 두면, 중근을 가질 조건은 f'(x)=0이고, f(x)=0인 점이 존재해야 한다. f'(x)=0의 해는 근의 공식으로 쉽게 찾을 수 있고, f(x)=0에 대입하여 정리하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.
9, 10. (x,y) -> (f(x),f(y))로 대응시킬 때, d(x,y)=d(f(x),f(y))는 |y-x|=|f(y)-f(x)|가 성립함과 동일하다. y-x와 f(y)-f(x)는 한 원 위의 점이고, 회전이동하여 항상 같은 위치로 이동할 수 있음이 보장된다. 회전이동하여 같은점으로 이동한 (y-x)'는 f(y)-f(x)와 같고, 이는 서로 평행이동 관계에 있음과 동일하다. 대칭이동은 회전이동의 부분집합임은 자명하고, 차원에 관계없이 성립한다.
11. AB를 DE로, AC를 DF로, BC를 EF로 대응시키는 f가 존재함은 자명하다(9, 10). 삼각형 ABC 위의 한 점은 AB를 m:n으로 등분한 점과 C를 이은 선분, AC를 p:q로 등분한 점과 B를 이은 선분의 교점으로 생각할때 해당 점에 대해 (m,n,p,q)는 유일하게 존재하며, 삼각형 DEF에 대해 DE를 m:n으로 등분한 점과 F를 이은 점을 AB를 m:n으로 등분한 점과 C를 이은 선분에서 대응시키는 f를 생각하면 자명하게 성질을 만족한다.
12. xy=1을 45˚ 회전하면 
을 얻을 수 있다. xy의 계수가 0이므로, 
가 되어 회전이동으로 충분하다
