https://arca.live/b/math/31490095 이게 원래 질문 글임


사실 알아냈다기보다는 내 생각의 오류를 발견했다고 하는 게 더 맞음


시작하기 앞서 예를 하나 들어보겠다

만약 자연수에 대해 대각선 논법을 쓰면 어떻게 될까? 자연수의 농도가 알레프0보다 크다고 할 수도 있는데 이는 틀렸더라 왜냐하면

실수에 대고 대각선 논법을 쓰면 아랫줄로 내려갈 수록 자릿수도 감소하지만 자연수에 대해서 쓰면 자릿수가 올라가겠지

그런데 자연수에는 '모든 자릿수가 6인 ...666666'같은 수는 없단 말이야 그건 자연수라고 하기에는 좀 뭣하잖아


다시 ω^ω로 돌아와서 ω^ω보다 작은(ω^ω의 원소인) 모든 서수들은 대강

a0+a1ω+a2ω^2+...꼴로 나타낼 수 있단 말이야

아까 십진법 수의 농도가 왜 알레프0인지 설명했는데 얘는 말하자면 무한진법으로 칠 수 있단 말이지

그리고 가정을 하나 더 할 건데 유한한 길이로 쓸 수 있는 애들만 취급하겠음 그냥 십진수가 그랬던 것처럼

그럼 여러 방법을 통해서 ω^ω의 농도가 알레프0인 걸 증명할 수 있는데 내가 방금 생각한 한 가지 예로는 일단

0으로 시작하고 다음으로 2자리 2진법마냥 1, ω, ω+1을 쓰고 다음으로 3자리 3진법마냥 아까 안 쓴 애들만 나열시켜서

2, ω+2, 2ω, 2ω+1, 2ω+2, ω^2, ω^2+1, ω^2+2, ω^2+ω, ω^2+ω+1, ω^2+ω+2, ω^2+2ω, ω^2+2ω+1, ω^2+2ω+2, 2ω^2, 2ω^2+1, 2ω^2+2, 2ω^2+ω, 2ω^2+ω+1, 2ω^2+ω+2, 2ω^2+2ω, 2ω^2+2ω+1, 2ω^2+2ω+2를 쓰고 그 다음으로는 4자리 4진법마냥 쓰고...

뭔 말인지 알겠음?


아니면 고차원 페아노 곡선을 이용해서 정의할 수도 있고 방법은 무한함

이렇게 엡실론0까지 가산인 걸 알아냈음


그리고 댓글 달아준 유동아 무슨 말인지는 이해 못 했지만 네 확신에 찬 말투 덕에 자신감을 얻고 답을 찾은 것 같다 고맙다