밑에글 보고 쓰는 글(완비성에 대해서 생각해 보자.)

[질문] 유리수를 정의역으로 갖는 함수도 극한이 정의됨?

[짧은 대답] 극한, 미분과 같은 개념을 정의하는데는 문제가 없으나, 극한에서 당연히 원하는 몇 가지 성질들을 가질 수는 없다.

(정확히 같은 질문에 대한 대답 이 되는 유튜브 영상임. 영어긴 한데 들을만 할거임.)

여기서부터는 내가 하고싶은 말

실수의 성질(정의) 중에서 "조밀성"과 "완비성"이 있는데,

그중에 극한에 관한 성질은 "완비성"에 관한 성질임.

조밀성 : 임의의 서로 다른 두 수 사이에 다른 수가 반드시 존재하는 성질

완비성1 : 코시수열이 반드시 수렴하는 성질

완비성2 : 상계가 있는 집합이 반드시 최소 상계를 가지는 성질

완비성1과 2는 서로 필요충분한 성질인데, 설명의 편의상 1번 기준으로 설명하자면,

코시수열이라고 함은 엄밀하게 말하자면

특정 N보다 큰 모든 n,m에 대해서 a_n과 a_m의 차이를 원하는 만큼 작게 만들어 줄 수 있는 N을 항상 잡을 수 있는 수열

이지만, 대략적으로 특정 수에 가까워지는 느낌(극한의 느낌) 이라고 생각하면 됨.

적당한 기준하에서 "완비성은 극한에 관한 성질들이 잘 정의되는 집합의 성질"이라고 생각해도 무방함.

내가 하고싶은 말은 완비성에 관한 내용이 없으면, "극한"에 관한 성질을 이야기 할 때 이상한 현상이 발생함.

예 1) 파이의 자리수를 앞에서부터 읽은 수열 a_n

3 , 3.1 , 3.14, 3.141. 3.1415, 3.14159, 3.141592, 3.1415926, ...

a_n은 모든 수열의 항이 "유리수"이지만, 그 극한값은 유리수가 아니다.

예 2) 사잇값정리가 성립을 안함

y=f(x)=x^2-2라는 함수를 생각할 때, f(1)은 음수이고, f(2)는 양수이다.

그런데 유리수집합에서는 f(x)=0의 해는 존재하지 않는다.

예 3) 0.9땡의 상황

0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999

모든 수열의 항이 1보다 작지만, 그 극한값은 "정확히" 1이다.

예4) 유튜버 로지컬의 영상에서 1+1=1이 되는 상황

글로 설명하기는 기니까 링크 : https://youtu.be/LagZIs5NxTQ

예3번을 이해못하는 사람은 거의 없을 것으로 생각된다. 그런데, 예4와 같이 놓고 예3번을 생각하면,

왜 3번에서는 모든 중간과정의 경우에 1보다 작은데, 극한은 1이여야 하며,

왜 4번에서는 모든 중간과정의 경우에 길이가 2라고 하더라도, 극한은 1이라고 하면 안되는지

"느낌적"으로는 알고 있지만, "정확히" 알고 있는 사람은 그리 많이 보지 못했다.

이번 기회에 조금 더 완비성에 대해서 생각해 보기로 하자.

[추가] 일반 위상을 주는 것 말고, p-adic integer 라는걸 이용해서 유리수집합에서 완비 거리공간을 주는 것이 가능한데, 궁금한사람은 유튜브보셈