위에 있는 식은 각 구간의 맨 오른쪽 점을 잡아서 함숫값으로 써먹는거고 구간의 길이도 1/n로 동일한거고
밑에 있는 식은 각 구간의 길이가 같을 필요도 없이 그저 구간 길이의 최댓값이 0으로 수렴하기만 하면 되고, 구간 내부에서 어떤 점을 고르더라도 상관없이 합이 같아야 한다는 뜻
그런데 애시당초 리만적분이 가능한 함수들은 구간 길이를 1/n로 잡고 구간 오른쪽 점을 잡아서 합의 극한을 취하는게 적분값과 동일하지만
리만적분이 불가능한데도 구간길이 1/n, 오른쪽 값/왼쪽 값의 합의 극한이 서로 일치하는 함수들도 존재해서, 단순히 오른쪽 왼쪽합을 리만적분값이라고 생각하기에는 무리가 있음
가령 [0, 1]에서 x가 유리수이면 1, 무리수이면 0의 함숫값을 갖는 디리클레 함수를 생각하면
구간 길이를 1/n로 잡고 왼쪽/오른쪽 끝점을 잡아 계산하면 왼쪽/오른쪽 끝점이 모두 k/n꼴의 유리수라 함숫값이 1이 되어서, 합의 극한이 1이 됨
그런데 아래 식처럼 구간 내부의 아무 점이나 잡아버리면
아무리 짧은 구간 내부에도 항상 유리수와 무리수가 존재하기 때문에, 어떤 경우에는 합이 0, 어떤 경우에는 합이 1이 되도록 할 수 있음
따라서 이 함수는 왼쪽 합과 오른쪽 합이 일치함에도 불구하고 사실은 리만적분 불가능하다는 것을 알 수 있음
이런 변태같은 반례들때문에 저런 정의가 등장한거라 생각하면 될듯?
자세한건 나무위키 정적분 항목에 더 잘 나와있음 거기 참고