수학적 명제는 근데 결국 다 동어반복 아닌가

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Catastrophe1986

추천 1 비추천 0 댓글 21 조회수 819 작성일 2021-12-10 17:57:54

https://arca.live/b/math/40116754

모든게 공리로 환원되면

결국 그 공리 5개만큼이 주는 지식만큼만을 우리에게 줄수 있다는거 아닌가 생각이드네

이상 비트겐슈타인 수리철학 알아보던 고2허수게이엿음

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쎾수학 (125.179)

2021-12-10 18:08:28 삭제 수정 답글

반대로 말하면 그 공리들이 내포하고 있는 내용이 엄청나다고 할 수도 있지

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미세레레

2021-12-10 18:35:35 답글

*수정됨

동어반복문은 지식이 아님 근데. 철학자들 중에 동어반복문을 지식으로 보는 사람은 없어. 철학에서 지식을 말할 땐, 대충 정보의 확장이 있어야해. 근데 A=A는 정보의 확장이 없으니 지식이 아니지. A=A는 A에 대한 지식이 아니냐는 말을 할 수 있겠는데, 이 문장은 그냥 "A이다"라는 문장과 같은거고, 이거는 그냥 하나의 진술일 뿐인거야. 근데 수학은 지식이 될 수 있는 것 같이 보여. 왜냐하면 정보의 확장을 가져오는 것처럼 보이니까. 비트겐슈타인 이전에 카르납은 결과적으로 동어반복인 것으로 보는 결론으로 가지만, 비트겐슈타인은 수학은 논리학으로 되어있다고 했지 내가알기로 논리로 환원가능하다고 한적은 없어. 논고의 입장에 따르면 논리는 말할 수 없는 것으로 존재하는 것일 뿐이니까. 그리고 환원하려고 하지도 않음. 그냥 수학속에서 어떠한 형식으로 존재하면서 우리한테 나타난다고 이야기만하지. 후기에는 어떻게 입장이 바뀌었는진 모르겠지만 이러한 입장은 존재론적으로 수학이란게 있다고 고려할지 말지에 대한 논쟁인거야. 그리고 존재론적으로 인정하는가 하지 않는가에 대한 논쟁은 그것이 결론으로 나게 되면 정보의 확장을 가져오게 되는거니 지식이 될 수 있는거지

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야스각이다

2021-12-10 19:35:43 답글

*수정됨

서로 동치인 두 명제를 두고 동어반복이라고 하지 않는 것처럼, 공리로 환원가능하나 공리가 아닌 명제들도 공리에 대한 동어반복은 아니라고 생각함.

오히려 어떤 공리 A가 서로 다른 수학의 분야(가령 선형대수학, 기하학, 해석학, 위상수학 등등의)에서 각각 서로 다른 형태의 명제 B, C와 동치라면,

나는 이걸 명제 B, C에서 얻을 수 있는 정보는 결국 A가 주는 정보와 동일하게 제한된다고 보기보다, 반대로 공리 A에서 얻을 수 있는 정보가 B와 C라는 명제가 속한 분야를 통해 다채롭게 해석될 수 있다고 생각함.

https://namu.wiki/w/%EC%84%A0%ED%83%9D%EA%B3%B5%EB%A6%AC#s-4
가령 위 문서에서 선택공리와 동치인 명제들 중 '모든 벡터공간은 기저를 갖는다' 같은 것들이 선택공리와 동치라는 사실을 알아내는 것은 선택공리만을 생각하고 그것을 선형대수학의 영역으로 확장시키려는 시도가 없었다면 불가능했을거라 생각함.

어떤 명제가 공리로 환원될 수 있는지 없는지 여부를 알아내는 과정, 만일 모든 명제가 공리로 환원될 수 있다 하더라도 그 환원이 구체적으로 이루어지는 과정을 살피는 것이 공리에 대한 지식을 넓힐 수 있을 거라고 봄.

그러면 그 명제가 사실은 실질적으로 공리와 동일한 의미를 가진다 하더라도 인류가 그 명제를 통해 얻은 정보는 명제와 공리 그 자체보다 더 넓고 깊은 것이 될 수 있을거라 생각함.

첫댓 말마따나, 우리가 알고 있는 대부분의 공리나 명제들은 우리가 알고 있는 것보다 더 많은 정보를 내포한다고 생각함. 

애초부터 인간이 수학을 완전하게 알고 있었다면 모든 명제를 공리로 환원한다는 가정 하에 공리의 지식과 같은 분량만큼의 지식을 명제가 담고있다고 보는 시각이 무리가 아니겠지만,

정작 우리가 기존에 공리에 대해서 갖고 있던 지식이, 그 공리에 대해 가능한 한 모든 것을 다 끌어냈는지 그것을 알 수가 없기 때문에, 이론상으로는 동어반복이 맞다손치더라도 인류가 절멸할 때까지 수학적 명제가 동어반복으로 취급되는 날은 오지 않을 거라고 봄

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미세레레

2021-12-10 19:53:36 답글

*수정됨

논리학은 명제의 내용에 신경안쓰기 때문에 엄밀히 봤을 때, 논증이 건전하기만 하면, 동어반복 꼴이라고 애초에 봄. 때문에 이러한 입장을 일관되게 끌고간다면, 내가 알기로 형식주의 수학이 그런걸로 알고 있는데, 쨋든 선택공리를 가지고 선형대수로의 확장을 일으켰다는 것도 진짜 엄밀히 보자면 동어반복으로 간주할 수도 있을껄? 애초에 확장이란 것도 아닌게 형식주의와 같은 건 마치 물리학에서 통일장이론을 마련하려는 것처럼 하나의 형식으로 일궈내려는걸꺼야. 이렇게 말한다면 그거 허무맹랑한 주장 아니냐고 이야기 하겠지만, 적어도 수학은 논리학을 베이스로 깔고 있으니 이런 입장은 그게 가능할것이라 보는거고

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야스각이다

2021-12-10 19:58:46 답글

ㅇㅎ 논리학쪽은 잘 몰라서 그냥 통상적으로 직관적으로 쓰는 의미에서 동어반복이다 아니다를 논했는데 엄밀히 따지면 오류가 있나보네요
논리학 관련으로는 진짜 일자무식이라 그쪽분야에서의 의미로 각잡고 쓴건 아니고 본문에서 '공리가 주는 지식'에 대한 언급에 대해서만 내 생각 전개한 글에 가까운듯

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야스각이다

2021-12-10 20:00:32 답글

뭔가 기존 공리체계랑, 거기서 우리가 아는 명제들로의 확장이 주는 정보가 같다는 주장이 좀 반직관적인 느낌이 들어서 길게 써봤는데 애시당초 논리학에서 명제의 내용이나 정보에 신경을 안쓰는군요 윾

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미세레레

2021-12-10 20:13:10 답글

*수정됨

논리학 자체가 일단 반직관적이니까요 ㅋㅋ. 물론 태초에 배중률 모순율과 같은 거는 어떤 이론의 기반이 없는 것에서 만든 것일테니 경험속에서 오는 직관적인 것이긴 하지만, 그 이후로 전개되는 논리 규칙들은 직관이 아닐테죠. "if p then q"가 p : f, q : t일 때도 문장은 참인데, 이 문장은 거짓일 때 참이 나온다고 이야길 하잖아요. 이에 대해서 논리학을 모르는 누군가는 거짓과 참은 완전히 상반되는거니 거짓에서 참이 어떻게 도출되냐고 말할 수 있을텐데 이는 분명 직관적인 판단에 해당하는거겠죠. 그런데 논리학을 아는 사람은 저 문제에 대해서 해줄 수 있는말이 논리규칙에 따르면 ""문장이 참이된다는 말을 해줄 수 있지만, 이 이상 해줄수 있는 말은 없죠. 올바른 예시가 맞는진 모르겠으나 반직관적이라 이상하게 느껴졌다는게 아마 이런 문제와 비슷한거 아닐까요?

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야스각이다

2021-12-10 20:20:38 답글

다경

2021-12-10 22:50:40 답글

공리의 conjection이랑 injection의 관계는 동어반복이 아니지

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Catastrophe1986

2021-12-10 22:57:56 답글

그게뭔뜻이에오

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다경

2021-12-10 23:00:34 답글

예를 들면 유클리드 5공리의 삼각형 내각꼴이랑 평행선꼴은 서로 유도가능한거지 동어반복이라고 하긴 힘들다는것

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Catastrophe1986

2021-12-10 23:01:21 답글

논리학에선 유도가능하면 그냥 동어반복이라고 보지않나? 분석명제 ㅇㅇ

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다경

2021-12-10 23:02:19 답글

근데 저거 두개는 다른 공리가 있어야 유도되는데 동어반복은 아니지

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Catastrophe1986

2021-12-10 23:04:02 답글

아니아니 그니까 내말은 결국 공리 몇개로 도출이 되던 도출된다는거 자체가 동어반복이라는거지 공리 2개면 2개만큼의 지식에서 더 새로운 지식을 주지못함 세계에대한
난 애초에 수학이 세상에 대해 아무런 통찰도 주지 않는다고 봐 수학적 대상이 실재하지도 않구

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다경

2021-12-10 23:08:38 답글

결론은 동의하는데 세상에 대한 통찰을 주지 않는 이유는 애초에 수학이 추상적인 논리로 구성되어있기 때문이지 공리를 제외한 논리의 확장이 없다는 이유는 아니지

나는 논리의 확장을 "어떤 참인 명제집합에 속한 명제들로 이루어진 어떤 다른 명제가 이 집합에 속하는지, 또는 속하지 않는지를 결론으로 갖는 증명"이라고 생각하는데 그냥 철학적으로 논리의 확장을 어떻게 보는지의 차이 같음

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누구신지

2021-12-11 02:14:51 답글

학부나 학원까지 배우는 대부분의 명제들이 정의와 공리에 의해 자명한 것은 사실이나 비자명하게 성립하는 명제들도 많음.

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Catastrophe1986

2021-12-11 02:16:28 답글

*수정됨

공리 없이 홀로 참인게 가능..? 비자명하게 성립한다는게 어떻게 가능한지 몰겟다

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누구신지

2021-12-11 02:16:54 답글

그 말이 아니지.

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Specificity

2021-12-11 07:52:46 답글

'선험적 종합판단'

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Catastrophe1986

2021-12-11 07:54:02 답글

칸트는 그게 잇다고 햇는데 난 아니라고 봄. 우리에게 선험적 종합지식은 주어질수 없다고 생각한다

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ㅇㅇ (223.62)

2021-12-15 19:06:09 삭제 수정 답글

오우 이거 자기전에 ㅈㄴ생각자주한 건데ㅋㅋ
결국 공리조합으로 끝나는거아닌가하는

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