n^2 | 2^n+1인 자연수 n을 모두 찾자.

i) n=1 가능

ii) n > 2

n이  짝수라면 홀수가 짝수의 배수이므로 모순

즉 n은 홀수이다.

n^2 | (2^n+1)(2^n-1)=2^2n - 1

n을 나누는 최소 소수 p에 대해

p | 2^2n - 1

p | 2^(p-1) -1

p는 홀수이므로 p |  2^gcd(2n, p-1) - 1 = 3

즉 p=3, n = 3^t * k라 하자.(k는 3의 배수가아님)

V3(2^n + 1) = V3(2+1) +V3(n) = t + 1 ≥ 2t

즉 t = 1, n = 3k

k가 1이라면 n = 3, 이를 대입시 성립

k가 2 이상의 자연수라면 k를 나누는 최소 소수 q에 대해 q > 3이다.

q | 8^2k - 1, q | 8^q-1 -1

즉 q | 8^gcd(2t, q-1) = 63

q = 7이다.

이때 2^n + 1은 7의 배수가 되어야 하므로 모순.

즉 가능한 자연수는 1, 3이다.