0. 자연수란?

자연수란 무엇일까요? 이때까지 살펴봤던 수학적 요소들과 마찬가지로 자연수 또한 명제로 깔끔하게 나타나야 할 것 같습니다. 이번 화에서는 자연수를 잘 정의하고, 여러 가지 성질을 이야기할 것입니다.

집합 A에서 B로의 함수 f가 존재한다는 것은 (exist f)(for all a)(exist b)((a in A) -> f(a)=b&&b in B)이고, f:A->B와 같이 씁니다. -> 기호는 진리값 연산자 ->와는 다른 기호입니다. 

1. 전단사와 기수, 무한집합과 공집합

함수의 성질 중 bijective:전단사란, injective:단사이면서 surjective:전사인 함수를 전단사 함수라고 합니다.

단사함수란 함수 f에 대해 모든 f(a)들이 같지 않을 때 단사함수라고 합니다. 명제로 쓰면 (for all x)(for all y)~(f(x)=f(y))가 됩니다.

전사함수란 함수 f에 대해 모든 y가 f(x)=y인 x를 가질 때 전사함수라고 합니다. 명제로 쓰면 (for all y)(exist x)(f(x)=y)가 됩니다.

두 집합 A, B에 대해 A와 B 사이에 전단사 함수가 존재한다는 것은 두 집합의 cardinality:기수가 같음을 의미합니다. 즉, (for all A)(for all B) ( (exist f)(((a in A)&&(b in B)->(f(a)=b)) && f는 전단사함수) -> A와 B는 기수가 같다) 또는 (for all A)(for all B) ( (exists f)(f:A->B && f는 전단사 함수) -> A와  B는 기수가 같다)라고 합니다.

함수 파트에서 다룬 내용은, 함수는 x에 대해 유일하게 y가 대응되는 관계 f를 함수라고 했고 f(x)=y라고 한다고 했습니다. 즉, 단사함수에서 f(x)는 유일하게 존재하고, x에 따라 f(x)가 같은 수에 대응되지 않으므로 f(x)들의 집합이 x들의 집합보다 원소의 양이 더 적을 수는 없습니다. 한편 전사함수에서는 모든 y들에 대해 f(x)=y인 x가 존재해야 한다는 뜻이고, 모든 y들에 대해 하나 이상의 x가 대응되어야 합니다. y들의 집합보다 x들의 집합이 원소의 양이 더 적을 수는 없습니다.

전단사함수는 전사함수와 단사함수의 성질을 모두 가지고 있어야 하는데, f(x)=y인 x의 집합과 y의 집합의 원소의 양을 생각해 보면, x의 집합이 더 적을 수도, y의 집합이 더 적을 수도 없으므로, 두 집합의 크기는 같아야 할 것으로 생각됩니다. 이런 전단사함수가 존재하는 두 집합 사이의 크기는 같다고 생각할 수 있는데, 이를 수학적으로 기수가 같다고 표현합니다. 

무한집합은 어떤 집합 A와, A가 아닌 A의 부분집합 (진부분집합이라고 합니다.) B에 대해 A와 B 사이에 전단사 함수가 존재하면, A를 무한집합이라고 합니다. 즉, (for all a)((a in A)->(exist b)(b in A&&(exist f)((f(a)=b)&&f는 전단사함수&&(exist t)(~(exist s)(f(s)=t)))))일때 A를 무한집합이라고 합니다. 상식적인 의미에서의 무한집합이 아니면 당연히 이런 전단사함수는 존재하지 않을 것이고, 이런 관점에서 봤을 때 이런 전단사함수가 존재하는 것이 상식적인 의미에서의 무한집합만이 가지는 유한집합과는 구분되는 속성이라고 할 수 있어 보입니다. 이를 이용한 무한집합의 정의가 위의 정의입니다.

공집합이라는 개념도 존재하는데, 집합 A가 (for all x)(~(x in A))를 만족할 때 A를 공집합이라고 합니다. 이하 공집합을 &empty라고 하겠습니다. 이는 일반적으로 공집합을 나타내는 기호 ∅의 HTML 엔티티 표기를 차용했습니다.

2. 자연수의 정의

자연수는 아주 오래전부터 잘 사용해 오던 수이고, 일반적으로 기원전 30세기 이전까지도 거슬러 올라갑니다. 그러나, 잘 정의된 자연수의 개념이 성립된 것은 그리 오래되지 않았습니다. 페아노의 공리계에 따르면, 자연수는 아래 성질을 만족하는 집합입니다.

ㄱ. 0은 자연수 집합의 원소이다.

ㄴ. 어떤 연산자 S가 있어 n이 자연수 집합의 원소이면 Sn도 자연수 집합의 원소이다.

ㄷ. Sx=0을 만족하는 x가 존재한다면 자연수 집합의 원소가 아니다.

ㄹ. 집합의 어떤 두 원소 j,k에 대해 아래 조건을 만족하는 관계 u에 대해 juk이다.

 - u는 동치관계이고, xuSx가 성립한다.

ㄱ은 0을 자연수의 어떤 특별한 원소로 설정하는 것입니다. 0은 자연수의 특별한 원소의 대표 심볼이고, 그 자체로서 가지는 특징은 없습니다. 단순히 심볼에 불과합니다. 중등교육과정까지는 0이 자연수가 아니라고 가르치는데, 여러 입장 중 하나입니다. 0을 자연수로 볼 필요는 없지만, 0을 자연수에 포함하지 않을 이유는 없습니다. 제 취향이기도 하고, 컴퓨터공학에서는 0을 포함하는게 자연스럽기도 하고 많은 이유로 0을 자연수로 포함하는 것을 선호하는 사람이 많다고 생각됩니다. ㄴ은 Successor:따름수라는 적당한 원소를 설정하고, 이를 자연수 집합에서 이용합니다. 따름수는 함수로 볼 수도 있고, 연산자로 볼 수도 있는데, 어느 쪽이든 상관 없습니다. 단지 자연수 집합의 원소 x에 대해 Sx라는 원소가 항상 존재하고, 그것 또한 포함해야 자연수 집합이 된다는 것입니다.

ㄷ은 0의 따름수는 존재하지 않거나, 존재한다 하더라도 자연수 집합의 원소가 아니라는 뜻입니다. 따름수를 자연수의 연결관계라고 생각하면 없는 편이 자연스럽고, 1 큰 수라고 생각하면 있는 편이 자연스럽고, 자연수 집합의 원소는 아닌 편이 좋습니다. 어떤 관점을 취하던 관계없이 있다면 자연수 집합의 원소가 아니다로 충분합니다. ㄹ은 사람에 따라 다르게 기술하는데, 쉽게 말해 ㄱ,ㄴ,ㄷ을 만족하는 가장 작은 집합이 자연수 집합이라는 뜻입니다. 예를 들어, SA1이 A2, SA2가 A3, ...와 같은 식으로 정의된 따름수를 따르는 Ai들의 집합은 ㄱ,ㄴ,ㄷ,ㄹ을 만족하는 자연수 집합입니다. 그러나, SB1이 B2, SB2가 B3, ...와 같은 식으로 정의된 따름수를 따르는 Bi들 또한 포함한 집합은 ㄱ,ㄴ,ㄷ을 만족하지만 자연수 집합으로 보기는 어렵습니다. 음을 포함하는 정수 집합도 따름수를 잘 정의하면 ㄱ,ㄴ,ㄷ 조건을 만족하게 할 수 있으니 곤란합니다. 제가 ㄹ 조건으로 준 것은 모든 원소가 따름수 관계에 의해 연결되어 있음을 의미합니다. 이후 Equivalence class:동치류에서 자세히 다루도록 하겠습니다.

3. 자연수의 구성 : 체르멜로식 구성과 노이만식 구성

자연수 집합은 정의가 잘 되어 있지만, 자연수 자체는 잘 정의되어 있지 않습니다. 자연수 집합의 조건을 만족하는 집합의 원소이기만 하면 자연수라고 하는 것입니다. 조금 더 극단적으로 얘기하면, 흔히 사용하는 유리수의 집합도 자연수 집합의 조건을 만족하게 적당히 따름수를 정의할 수 있고, 그렇게 순서가 정해진 유리수 또한 자연수라고 할 수 있습니다. 즉, 자연수 집합의 조건을 만족하기만 하면 자연수라고 할 수 있습니다. 그러나, 이는 직관적으로 구성되지 않습니다. 일반적으로, 상식적으로 알고 있는 자연수와 크게 동떨어진 원소와 집합이기 때문입니다.

이를 해결하기 위해 수학자들은 실체가 있는 자연수를 구성합니다. 효용성 있고, 실제로 잘 정의되어있으며, 사람들에게 납득될만한 구성이어야 할 것입니다. 체르멜로는 자연수를 다음과 같이 구성하고자 했습니다. 

 - 자연수 n에 대해 n의 따름수 Sn은 {n}이다. 자연수의 원소 0은 &empty로 한다.

체르멜로의 자연수 구성은 잘 정의되어 있고, 납득될만합니다. 그러나, 이후 더 효용성있는 노이만식 구성이 등장합니다.

 - 자연수 n에 대해 n의 따름수 Sn은 n|{n}이다. 자연수의 원소 0은 &empty로 한다.

일단 모든 자연수 집합의 원소는 어떤 집합으로 되어 있습니다. 체르멜로의 구성은 &empty가 얼마나 깊이 있느냐에 집중합니다. 일반적으로 사용하는 십진 자연수 표기를 이용하여, 1 = {&empty}, 2 = {{&empty}}, ...와 같은 식입니다. 

한편, 노이만의 구성은 1 = {&empty}, 2 = {&empty, {&empty}}, 3 = {&empty, {&empty},{&empty, {&empty}}} ...와 같은 식인데, 십진 자연수 표기를 이용하면 조금 더 직관적으로 보입니다. 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, ...와 같은 식입니다. 자연수의 대소비교를 할 때 2<3임은 "2 in 3"에서 얻을 수 있습니다. 원소를 나타내는 기호와 대소를 비교하는 기호를 직접 바꿔 쓸 수 있다는 점에서 노이만식 구성이 체르멜로식 구성보다 유리한 점이 있습니다. 대소 비교는 추후에 다루도록 하겠습니다.

4. 집합의 크기

고대 서양에서 목축일을 할 때 수가 아주 많은 양들을 관리하게 되는데, 이때 사용한 방법으로는 양에게 풀을 먹이러 나갈 때 양 한마리가 문을 나가면 주머니에 돌을 하나 넣고, 다시 양이 돌아오면 문에 들어올 때 마다 주머니에서 돌을 다시 꺼내는 방법이 있습니다. 즉, 돌 하나에 양 하나를 대응하는 것입니다. 

수학적으로 집합의 크기를 비교하는 방법이 이와 같습니다. 두 집합 사이에 전단사함수가 존재하면, 두 함수의 크기가 같다고 생각할 수 있습니다. 앞서 설명한 기수가 같다는 것의 정의입니다. 

집합의 크기는 다음과 같이 정의됩니다.

 - 노이만식 구성을 따르는 자연수 n과 어떤 집합 사이에 전단사 함수가 존재한다면, 그 집합의 cardinality:기수(또는 크기)는 n이라고 할 수 있다.

하지만, 무한집합인 경우에는 어떤 자연수도 기수로 갖지 않습니다. 자연수 집합과 전단사함수가 존재하는 경우를 countable:가산이라고 하고, 존재하지 않는 경우를 uncountable:비가산이라고 합니다. 무한집합이 자연수를 기수로 갖지 않는다는 것은 IP를 이용해 보일 수 있습니다.

5. 마치며

자연수에 대해 알아보았습니다. 가장 처음 사용된 수가 자연수이기도 하고, 수학사적으로 가장 앞선 수이기도 합니다. 다음 화에서 자연수를 연산해 보도록 하겠습니다. 

슬슬 불완전성 정리에 부딛히고 있는 것 같습니다. 옳은 것은 알겠으나 논리적으로 완전하게 설명하는 것이 상당히 힘들어 지기 시작했습니다. 슬슬 분량 조절이 어려워 지고 있습니다. 양해 바랍니다.

검수를 적게 하고 올리다 보니 많은 철자오류가 발견되고 있고, 의미적 부정확성이 발견되기도 하고, 논리적 오류가 발견될 수 있습니다.