일단 Σa 가 수렴한다고 하면 모든 ϵ>0 에 대하여 적절한 N이 존재해서 abs(aN+..an)< ϵ (n>=N) 인데
(abs(aN+..an)+n-N+1)/( n-N+1 )>=(aN+..an+n-N+1)/( n-N+1 )=(1+aN+..+1+an)/(n-N+1) 이고 ϵ가 1 보다 작다고 하면 1+a는 양수이니 산술기하 부등식을 쓰면 (1+aN+..+1+an)/(n-N+1)>=((1+aN)*..*(1+an))^(1/n-N+1)이다. 따라서
(1+aN)*..*(1+an)<= ((abs(aN+..an)+n-N+1)/( n-N+1 ))^(n-N+1)<e^ ϵ 이므로 무한 곱에서도 N부터 로그를 씌워서 생각해보면 무한곱이 수렴한다는 것을 알 수 있다.
역으로 무한 곱이 수렴한다하자 앞에서 a에서 N이 충분히 클 때 음수 인 항이 있거나 하면 수렴하지 않는 것을 확인 했으니 N이 충분히 클 때 a가 0이상이라고 하자(추가로 앞까지 값을 구했을 때 0이 아니라 하자)aN부터 로그를 씌워 생각해보면 0<=log(1+aN)*..*(1+an)<ϵ 이니 1<=(1+aN)*..*(1+an)<e^ϵ 이다 이 때
(1+aN)*..*(1+an)을 전개 해보면 1+aN+..+an+r(n)이다. 이 때 a가 양수이니 r(n)도 양수이다. 따라서
0<=aN+..+an<e^ϵ-1 이다. 이는 ϵ을 적절하게 잡으면 급수가 수렴한다는 것을 확인할 수 있으니 a가 양수이면 무한곱이 수렴할 때 급수도 수렴한다.
