원래

https://arca.live/b/math/44761489  

이 글에 댓글로 달려다가 너무 길어져서 게시글로 대체함.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

ㅇㅇ 나도 너 말이 맞는것 같음. 그리고 역 또한 성립할듯. 근데 문제가 있음.

가령 ABC 대신 ACB라고 써버리면 너의 정의상 ACxAB를 고려해야 해서 위, 아래가 반대가 되어버리니

너가 쓴 순서인 ABC, ACD, ADB, BDC의 순서가 중요해지는데 이게 비직관적이잖음? 

그래서 너의 정의로는 증명이 다소 난잡해지지 않나 조심스레 생각해봄

게다가 너가 말한 '점이 어떤 평면의 위에 있다'는 말은 해당 점이 평면 상에 속한다는 기존의 정의와 부딪히기도하고.

차라리 정의 과정에서 증명을 고려하는게 어떰?

아 근데 내가 전문 수학인은 아니라서 여기있는 수잘알들이 보기엔 부족해보일수 있음.

그래도 나름 깔끔하게 정리하려고 노력했음.. 하지만 분명히 틀린 점이 있을 수 있으니 다른 수잘알들의 지적과 관심이 필요함

그리고 점 P가 네 점 A, B, C, D 중 하나와 같은 경우는 고려하지 않았음. (즉 다르다고 쳐주셈)

이거 고려해서 아래 정리들에 계속 예외사항으로 넣어두기에는 너무 난잡해짐...

또 애초에 저 다섯개의 점의 좌표를 모두 안다는 가정이니까말임

암튼 시작하겠음.

Def) 한 사면체에 대해, 사면체의 네 면 중 한 면이 이루는 평면의 '위쪽 방향에 있는 점'이란, 해당 평면으로 나뉘는 두 공간 중, 해당 평면에 속하지 않는 사면체의 꼭짓점이 속하는 공간에 있는 점이다.

또 해당 점이 속한 공간을 '사면체의 해당 평면에 대한 위쪽 방향의 공간'이라고 정의하자. 또 유사하게 '아랫쪽 방향에 있는 점 및 공간' 또한 정의할 수 있다. (생략)

('해당 평면에 속하지 않는 사면체의 꼭짓점'의 존재성: 사면체의 네 꼭짓점이 모두 한 평면에 있으면 평면도형이 되므로 사면체가 아니다. 따라서 저런 꼭짓점은 항상 존재함)

Ex) 삼각형 ABC가 만드는 평면을 S라고 두자.

평면 S는 공간을 두 개로 나누는데, 그 두 공간 중 점 D가 속한 공간에 있는 점 P에 대해서

'사면체 ABCD에 대해, 점 P는 평면 ABC의 위쪽 방향에 있는 점이다'라고 표현할 수 있음.

이제 위의 정의에 대한 수학적 기술은 아래로 미루고, 너가 했던 질문에 대한 답을 먼저 써보고자 함. 

요는 너가 말한 내용이 직관적으로 받아들이기 힘들다 이거잖음? 그러면 그 내용을 우리가 직관적으로 받아들일 수 있는 여러 보조정리로 쪼개면 어떰?

lemma) 사면체의 네 면중 한 면이 이루는 평면이 만드는 두 공간에 대해, 사면체의 내부의 점은 두 공간중 한 공간에 모두 속한다.

cor1) 사면체의 네 면중 한 면이 이루는 평면이 만드는 두 공간 중에서, 해당 평면에 있지 않은 사면체의 나머지 꼭짓점이 속한 공간에는 사면체의 내부의 점이 모두 속한다.

cor2) 사면체의 네 면 각각이 만드는 평면들의 위쪽 방향의 공간들의 교집합은 사면체의 내부와 같은 공간이다.

thm) 사면체 ABCD와 공간상의 점 P에 대해, 점 P가 사면체 ABCD의 내부에 있을 필요충분조건은 사면체의 각각의 면이 이루는 각각의 평면에 대해 점 P가 모두 위쪽 방향에 있는 것이다.

이정도면 직관적으로 납득되지 않음?

물론 엄밀하게 위상적으로 증명하려고 계속해서 끄적여봤으나 어렵고 귀찮아져서 직관적으로 자명하다고 퉁친게 절대 아님 ㅎ;

(혹시 위상적으로 증명 가능한 능력자분 있으면 부탁드리겠음..)

암튼 위의 과정을 통해 질문에 대한 답은 됐을 것 같지만, 너는 실제적으로 저 내용을 계산하는 알고리즘이 필요한 것 아님?

그러니까 실제로 저 정의를 어떻게 수학적으로 기술하는지가 관건임. 그건 이렇게 쓸 수 있겠음. (이것은 너가 쓴  PA * (PB x PC)의 대체 수식을 찾는 과정임)

사면체의 네 면 중 한 면이 만드는 평면 S상에 속한, 사면체의 세 꼭짓점 중 아무거나 하나를 X, 나머지 꼭짓점을 Y라고 쓰고

평면S 의 법선벡터를 n이라고 표현하겠음 (n은 너가 했듯이 외적으로 쉽게 구할 수 있지만 굳이 수식으로 쓰면 난잡해져서 생략)

편의상 내적기호를 *라고 표현할 때

실수 (n*XY)(n*XP)을 '판별식 R'이라고 부르자.

두 벡터에 대한 내적 값의 부호는, 두 벡터가 이루는 각이 예각, 직각, 둔각일때마다 달라짐을 생각하면

R>0이면 점 P는 평면 S의 위쪽 방향에 있는 점이고

R<0이면 점 P는 평면 S의 아래쪽 방향에 있는 점임을 알 수 있음.

또, R=0이면 점 P는 평면 S상의 점임을 알 수 있음.

또한 한 사면체 ABCD대해서, 판별식 R은 오직 사면체의 네 면중 한 면과 점 P에 종속되는 값임을 알 수 있음.

따라서 이 식은 네 면중 어떤 면을 선택하던, 점 P를 어떤 점을 선택하던, 

점 P가 해당 평면에 속하는지, 위에 있는지, 아래에 있는지 계산할 수 있는 알고리즘을 제공함.

따라서 아래의 따름정리를 얻게됨.

Cor3) 사면체 ABCD와 공간상의 점 P에 대해, 점P가 사면체 ABCD의 내부에 있을 필요충분조건은 사면체의 네 평면 각각의, 점 P에 대한 판별식 R의 값이 모두 양수일때이다.

하지만 위의 방식은 문제가 있음.

너가 말한 내용들은 증명이 가능하지만 정작 R=0인 경우에는 점 P가 사면체의 경계의 점인지, 외부의 점인지 판별을 못한다는 아쉬움이 남음.

즉, 일반적으로 내부의 점인지 아닌지에 대한 판단은 가능하지만 완벽하게 내부, 외부, 경계의 점인지 파악은 불가능하다는 뜻임

따라서 아래와 같은 추가적인 판단을 해주어야 한다고 생각함.

thm2) 평면에서, 삼각형 ABC와 평면상의 점 P에 대해 점 P가 삼각형 ABC의 외부에 있을 필요충분조건은 세 각 APB, BPC, APC의 합이 360도보다 작은 것이다. (이것은 세 벡터 PA, PB, PC가 이루는 모든 각도들의 합을 의미함을 관찰하자)

또한, 점 P가 삼각형 ABC의 경계에 있을 필요충분조건은 세 각 APB, BPC, APC 중 하나가 180도인 경우이다.

여기서도 엄밀하게 증명은 안 하고 직관적으로 납득만 가게끔 쓰겠음.

지금 당장 삼각형 ABC를 그려주셈. 예각, 직각, 둔각 아무거나.

그 안에 점 P를 찍어주셈. 그러면 세 각 APB, BPC, APC의 합이 자연스레 360도가 됨을 알 수 있음.

이제 점 P를 변 AB에 가까이 다가간다고 생각해보자. 종국엔 점 P가 변 AB위의 아무 곳에나 정착하는 순간을 그려보셈.

이래도 세 각의 합이 360도가 됨을 관찰할 수 있음. 즉, 이 경우에는 각 APB가 점점 둔각으로, 점점 평각으로 커져가게 되는거임.

하지만 벡터사이의 각도는 pi이하임. 그럼 이제 어떻게 되냐?

변 AB상의 점 P를 그대로 삼각형 밖으로 끄집어내셈. 그 다음에 변 PA, PB, PC를 그리셈

그러면 (가장 큰 각)= (나머지 두 각의 합)임을 관찰할 수 있음.

그런데 (가장 큰 각)은 180도보다 작음. 

따라서 세 각의 합은 360도보다 작다는게 결론임.

그러니까 점 P가 삼각형 내부에서 변 AB로 다가갈수록 각 APB가 둔각으로, 평각으로 커져가는데

P가 삼각형 외부로 나가면 다시 둔각 이하로 점점 작아지는 그림이 나옴. (벡터사이의 각도는 pi이하이므로)

따라서 위의 알고리즘까지 쓰면 판별식 R=0인 경우에도 완벽하게 내부인지, 외부인지, 경계인지 판단이 가능함.

cf) 다른 사람이 말한 선형대수적 방법도 알고리즘화하기는 쉬운데, 저 말대로 0이상 1이하의 계수만으로 하면 틀리다고 생각함.

왜냐면 실제로 각 계수가 모두 1인 경우인 AB+AC+AD는 사면체 밖의 점이잖음? (아니면 당장 1AB+1AC+0AD만 해도 그렇고)

그러니까, 가장 쉬운 경우의 기저로서 {e1, e2, e3}를 생각했을 때 e1+e2+e3은 기하학적으로 표현하면 한 변이 1인 정육면체 모양이 나오잖음?

그러니 R^3의 세 선형독립 벡터들에 대해, 세 벡터들의 선형결합의 계수가 모두 1이라는 것은, 이 정육면체를 적당히 찌그러뜨린 모양이 나옴. 즉 사면체와는 다른 모양이 됨

그러니 이 경우는 먼저 사면체의 한 평면삼각형ABC의 내부의 벡터식을 구성한 다음에, 나머지 꼭짓점에 대해 쌓아 올리는 식으로 구성하면 될 것 같은데 더 이상 머리아파서 포기

(내 말이 만약 맞는 경우에는) 다른 사람들이 알아서 해주리라 믿음