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질문 내가 생각한게 맞으려나

시스티나

추천 1 비추천 0 댓글 7 조회수 451 작성일 2022-02-19 08:16:06

https://arca.live/b/math/44761489

사면체 ABCD, 그리고 점 P가 있음

이제 P, A, B, C, D의 좌표 정보만 가지고 P가 ABCD 내부에 있는지 확인하고 싶음

P가 ABCD 밖에 있는 경우

그래서 내가 생각한 건

P가 ABC를 기준으로 위에 있다면 PA * (PB x PC)가 음수이고 아래에 있으면 양수이니까, (ABC의 위를 AB x AC의 방향이라고 하면)

P가 ABC, ACD, ADB, BDC 모두의 아래에 있거나 모두의 위에 있으면 P가 ABCD 내부의 점이라고 할 수 있지 않을까?

댓글 [7] 글쓰기

Specificity

2022-02-19 08:41:25 답글

AB, AC, AD가 선형독립이라면 AP를 저 벡터들의 합으로 유일하게 표현할 수 있을 텐데 그 때 저 벡터 앞의 계수의 합이 1 이하이고 각 계수는 0이상이면 될 것 같네요

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ㅇㅇ

2022-02-19 12:54:42 답글

오 일리있어

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he11o123

2022-02-19 14:22:08 답글

A를 원점으로 평행이동시키면 
저 평행사변형의 내부에 있다는 건 
A’P’ = tA’C’ + uA’B’ (t,u는 0이상 1이하) 의 벡터식이 성립함을 의미함

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ㅇㅇ

2022-02-19 14:54:58 답글

https://arca.live/b/math/44785247
내 생각을 적어봤음

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Enigma

2022-02-19 15:19:49 답글

직선 AP 가 평면 BCD 와 만나는 점을 X 라고 한 후
|AX| = |AP| + |PX| 이면 점P가 점 A와 평면 BCD의 사이에 있고
|AX| + |PX| = |AP| or |AP| + |AX| = |PX| 이면 점P가 A와 평면 BCD의 사이에 있지 않다.

사면체의 모든 꼭지점에 대해서 위의 방법의 "사이에 있다" 를 만족하면
P는 사면체 안의 점.
그렇지 않으면 사면체 밖의 점.

머릿속에 있는거 끄적여 봤는데 이게 너희가 말한 벡터를 이용한 방식이랑 같은 건지 모르겠다

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ㅇㅇ

2022-02-19 15:35:20 답글

*수정됨

오 증명은 필요하겠지만 '사이에 있다'는 것과 길이를 이용한 발상이 되게 좋은듯
그러니까, 'A를 지나고 평면 BCD와 평행한 평면'을 평면 S라고 놓으면
'점 A와 평면 BCD의 사이에 있는 점'이라는 것이 '평면 S와 평면 BCD 사이의 공간의 점'이라는거 맞지?
두 평행한 평면은 공간을 셋으로 나누니까
|AX| = |AP| + |PX| 이면 사이의 점이되고
|AX| + |PX| = |AP| 이면 평면 S에서 평면 BCD 방향의 바깥쪽에 점이 놓이고
|AP| + |AX| = |PX| 이면 평면 BCD에서 평면 S방향의 바깥쪽에 점이 놓이게 된다
를 생각하면 증명이 가능할듯
물론 점 P가 평면 S에 놓이는 경우는 애초에 직선 AP가 평면 BCD와 만나지 않으니 증명이 안되지만 이거야 따로 경우를 빼주면 괜찮을듯
점 P가 평면 BCD에 놓이는 경우도 마찬가지.
또 실제적으로 X를 구하는 과정과, 각 벡터의 norm를 구하는 과정이 벡터 관점이니까 벡터를 이용한 방식은 맞는듯?

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Enigma

2022-02-19 15:41:34 답글

그렇지. 크게 봤을때 P가 내분점이 되면 첫번째 경우, 외분점이라면 나머지 두 경우일거같음.

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