몇 년 전에 공부한 노트들 뒤적거려보는데, 교수님께서 흥미로운 얘기를 해주신 생각이 나서 여기에 정리차 공유해봄.

물론 교수님이 말한 내용을 그대로 쓸 수도 없고(몇 년 전 노트임...) 내가 적당히 MSG쳐서 쓰는거라 전문성이 떨어질 수도 있음 ㅋㅋ;

또한 이 글은 체론의 기초적 내용들을 바탕으로 하지만, 깊은 내용은 거의 없음.

용어 설명은 글에서 자연스럽게 거의 다 나와있으며

문제 해결을 위한 발상과 그 정당성을 위해 체론을 이용할 뿐, 정작 문제 해결 과정을 담백하게 써내려가면 체론은 거의 관여하지 않음을 알 수 있음!

아무튼 대부분 쉬운 내용이니 손 놓은지 오래됐다고 너무 걱정하진 말길.

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복잡한 분모의 유리화 방법.

그 중에서도 우리가 최종적으로 도착할 목적지는 이거임.

Ex) 의 분모를 유리화 하여라.

(17시 11분 오타 수정함)

저 문제를 풀기 위해, 쉬운 것부터 역으로 차근차근 접근해보겠음.

잠깐 학교에서 배우는 분모의 유리화를 떠올려보자.

1/sqrt(2) = sqrt(2)/2

1/(sqrt(2)+1) = sqrt(2)-1

이를 위해 우리는 분자, 분모에 적당한 무리수를 곱했잖음?

그런데 항상 분자 분모에 곱해서 유리화를 해야 할까?

다른 유리화 방법은 없을까?

이를 위해서 우리는 보다 근본적인 질문으로

저런 유리화가 결국 의미하는 바는 무엇일까?

를 생각해보겠음.

결론만 말하면, 위의 상황에서 유리화는 한 마디로 이것을 의미함.

Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)]

Q[x]의 원소는 x에 대한 유리계수 다항식이고,

Q(x)의 원소는 적당한 Q[x]의 원소들이 분자와 분모에 있는 형태( p(x)/q(x) 꼴)잖음?

이런 관점에서 보면 위의 유리화 식은, 좌변은 Q(sqrt(2))의 원소이고 우변은 Q[sqrt(2)]의 원소라고 볼 수 있다는 뜻임.

그러니, 유리화라는 행위는 Q(sqrt(2))를 Q[sqrt(2)]로서 바라보겠다는 의지가 담겨있는 행위라고 볼 수 있음!!

즉 복잡한 분수 형태를 간단한 다항식의 형태로 바꾸어보겠다는 의지가 담긴 행위가 분모의 유리화라고 정리할 수 있겠음.

(물론 x는 부정원이고 sqrt(2)는 '수'라는 점이 다르긴 하지만 세세한 내용은 여기선 다루지 않기로 함.)

그런데, 우리는 알잖음? 모든 실수a에 대해 Q(a)=Q[a] 가 항상 성립하지는 않음을 말임.

즉, 적어도 "a가 Q위에서 대수적"이라는 조건이 있어야 위의 이야기를 할 수 있잖음?

그러니, a가 근이 되는 적당한 유리계수 다항식 p(x)가 존재해야겠지.

물론 위의 경우는 p(x)=x^2-2라고 쓸 수 있겠음.  sqrt(2)를 대입하면 0이 되니까 말임

(사실 p(x) 대신 최소다항식 irr(sqrt(2),Q)을 써야 정확하지만 굳이 위의 상황에서까지 쉬운 irr 냅두고 다른 다항식을 구할 변태는 없다고 믿겠음)

결국 우리는 sqrt(2)를 다항식 p(x)=x^2-2로 바라본 셈임.

그러니, 위의 유리화를 원하는 식 자체도 다항식으로 바라보고 생각해보고 싶지않음?

유리화를 원하는 식들, 즉 1/sqrt(2) 와 1/(sqrt(2)+1) 은 전부 Q(sqrt(2))의 원소이면서도 

분자는 1, 분모는 Q[sqrt(2)]의 원소인 형태임에 주목해주셈.

즉 유리화를 원하는 식을 Q[x]의 원소와 대응시켜볼 수 있음! 

(어차피 나중에 대입준동형사상으로 x에 sqrt(2)를 대입하면 되니까)

즉 1/sqrt(2)는 x로 바라보고, 1/(sqrt(2)+1)는 x+1로서 바라보자는 뜻임. 이렇게 얻은 다항식을 q(x)라고 두자고.

이렇게 우리는 유리화 하고자 하는 식에서 두 다항식 p(x), q(x)을 얻게 됨.

휴! 일단 여기까지 일방적으로 끌려오느라 수고가 많았음. 

그 김에 일단 여기까지의 내용을 정리하고 가겠음.

"분모의 유리화를 원하는 식을 다항식의 세계로 끌어들였다"

아마도 여러분의 머릿속에는 "그래서 대체 왜 다항식으로 변환하는건데?" 에 대한 의문이 많이 남아있을 거임.

우리가 저 식을 다항식의 세계로 끌어들인 첫 번째 이유는 Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)] 였기 때문이었음.

굳이 저 말을 해석하자면 "그럴 수 있으니까" 또는 "p(x)/q(x) 꼴보다는 p(x) 꼴이 더 쉬우니까" 정도로 말할 수 있겠음.

그러니, 이런 연약한 이유 때문에 여러분이 여기까지 끌려온거라 말할 수 있음.

하지만 이제부터는 이렇게까지 억지로 변환하게 된 강력한 이유를 소개하고자 함.

일단 조금만 더 눈 딱 감고 따라와보셈.

1/(sqrt(2)+1) 를 유리화 하는 상황을 생각해보겠음.

위와 같은 논의로 p(x) = x^2-2, q(x) = x+1을 얻었음. 

그런데 유리화 결과는 Q[sqrt(2)]의 원소잖음? 이 또한 Q[x]의 원소로 대응하여 생각할 수 있음.

이렇게, 유리화 된 식에서 얻은 다항식을 r(x)라고 두겠음.

(우리는 이미 유리화 결과가 sqrt(2)-1, 즉 r(x)=x-1임을 알고 있으나 모른척하고 따라와주셈)

그런데 위의 유리화는 결국 1/q(x)=r(x)라고 표현한 뒤 x에 sqrt(2)를 대입한 형태잖음? 

일단 우리는 Q(x)보다는 Q[x]에서 논의하는걸 좋아하니까, 위의 식을 다시 쓰면 1=q(x)r(x) 잖음?

그런데 마침 p(x)는 sqrt(2)를 대입하면 0이네?

어???????????????

뭐가 생각나지 않음? 마치 이대로 결론까지 한 번에 도달할 수 있을 것 같은 그런 느낌?

(즐거움을 위해, 다음 글은 여기서 멀리 떨어뜨려 놓겠음. 한 번 생각해보셈!)

만약 위와 같은 상황에서 아래와 같은 ㅁ를 찾을 수 있다면?

1 = q(x)r(x) + ㅁp(x)

여기의 x에 sqrt(2)가 대입된다면 바로 우리가 원하는 식이 나오게 되잖음? p(x)는 사라지니까 말임.

그런데 우리는 1 = q(x)r(x) + ㅁp(x) 같은 식을 이미 p(x), q(x)만으로 얻어낼 수 있지 않나?

그러니까 우리는 p(x)와 q(x)의 저러한 선형결합 형태가 어떠한 수가 나오길 원함.

그런거라면, gcd( p(x), q(x) )가 생각나지 않음? 마침  gcd( p(x), q(x) ) = 1 이니까, 

유클리드 알고리즘을 통해 ㅁ=-1임을 알아내고

결국 1=(x+1)(x-1)+(-1)(x^2-2)을 얻게 됨.

여기서 x에 sqrt(2)를 대입한다면?

1=(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) + 0

양 변을 sqrt(2)+1 로 나누면

1/(sqrt(2)+1) = sqrt(2)-1

이렇게 유리화가 끝나게 됨.

마지막으로 정리하겠음.

우리는 1/(sqrt(2)+1) 의 분모의 유리화를 하기 원함.

우리는 Q(sqrt(2)) = Q[sqrt(2)]  라는 발상으로 인해 다항식의 세계로 변환하여 두 다항식 p(x)와 q(x)를 얻어냈었음.

그런데 우리는 이 두 다항식으로부터 p(x)와 q(x)의 선형결합식을 유도해냈음.

이 선형결합식에서 x에 sqrt(2)를 대입함으로 인해, 우리는 다항식의 세계를 다시 수의 세계로 변환함과 동시에 원하는 결과를 얻어내게 되었음. (굳이 '대입'이라는 행위에 정당성을 부여하려면 대입준동형사상을 이용하면 됨) 

이를 통해 결국 우리가 원하는 식을 얻게됨.

굳이 써내려간다면 이런 느낌일까

Ex) 1/(sqrt(2)+1)의 유리화를 하여라.

sol) sqrt(2)로부터 얻은 다항식 p(x)=x^2-2, 준식으로부터 얻은 다항식 q(x)=x+1에 대해

      gcd( p(x), q(x) ) =1 에서 1=(x+1)(x-1)+(-1)(x^2-2) 이 성립하므로

     양 변의 x에 sqrt(2)를 대입하면  1=(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) 을 얻고

     따라서 1/(sqrt(2)+1) = sqrt(2)-1 이다.

어떰? 생각보다 간단하지 않음?

앞서 서술했듯이, 문제 해결을 위한 발상과 그 정당성을 위해 체론을 이용할 뿐, 정작 문제 해결 과정을 담백하게 써내려가면 체론은 거의 관여하지 않음을 알 수 있음!

(오직 다항식에 대한 gcd와 유클리드 알고리즘에 관한 내용만 좀 안다면 말임)

자, 이쯤에서 다시 우리의 목적지를 살펴보겠음

Ex) 의 분모를 유리화 하여라.

(17시 11분 오타 수정함)

그런데 이 상황에서 내가 풀이와 답까지 제시하는 것은 너무 여러분의 즐거움을 뺏는 것 같음.

이 즐거움을 위해 풀이과정과 답은 여러분에게 맡기겠음.

(물론 타자로 5중근을 표현하기는 힘드니까, 실함수 f를 이렇게 정의하여 통일하면 편할 것 같음 : f(x)=(x의 5중근 중 실수) (+이 때 f는 잘 정의 되었는가?))

(만약 답에 ^3은 없고 ^4, ^2, ^1, ^0가 포함되며, 계수가 전부 +-1인 형태로 정리가 가능하다면 맞을 가능성이 크다 까지만 남겨둠)

그리고 체론을 아는 사람을 위한 다른 예제도 여기에 남겨두겠음

Ex) Q위에서 대수적인 무리수 a에 대해, irr(a,Q)=p(x)라고 두자. 유리계수 다항식 q(x)에 대해 q(a)가 Q[a]의 원소라면(우리가 유리화를 원하는 식이 1/q(a)라면) 항상 gcd( p(x), q(x) ) = 1라고 말할 수 있을까? 이로부터 얻는 사실이 무엇일까?