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집합론 질문입니다.

ㅇㅇ (1.232)

추천 0 비추천 0 댓글 2 조회수 267 작성일 2022-03-28 11:01:16

https://arca.live/b/math/47248397

N : 자연수 집합, Q+ : 양수 유리수 집합일 때,

x in (Q+)-N, y in N 에 대해, 항상 x+y not in N를 어떻게 수학적으로 보일 수 있을까요?

자연수 집합은 자연수 내에서만 덧셈에 닫혀있다고 말하면 되나요?

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ㅇㅇ

2022-03-28 11:14:15 답글

*수정됨

먼저 "자연수 집합은 자연수 내에서만 덧셈에 닫혀있다"는 말은 뜻은 이해가지만 좀 어폐가 있음.
"자연수 집합은 덧셈에 대해 닫혀있다"는 말은 알아도 '자연수 내에서만 닫혀있다'는건 이상함.

애초에 '집합 A가 연산 *에 의해 닫혀있다'는건 'A를 포함하는 집합 B위에서 정의된 (이항)연산 * : BxB -> B 에 대해, 모든 AxA의 원소는 A의 원소로 사상한다'를 뜻하기 때문임. 그러니까 닫혀있다의 정의 자체로부터 '~에서만 닫혀있다'고 표현하는건 이상함. (그러면 B의 다른 부분집합에서는 안닫혀있다는 뜻인가? A와 교집합이 있는 부분집합은? A에 포함되는 다른 B의 부분집합은?) 
(또 위의 문제는 + : ((Q+)-N)xN -> ? 의 상황이기 때문에 닫혀있다는 것과 거리가 있음)

문제 해결은... 집합론이지만 더럽고 추하게 아르키메데스 원리 쓰면 안되겠지...?
(x가 자연수가 아닌 양의 유리수이므로 m<x<m+1인 자연수 m이 존재함. (아르키메데스 원리) 따라서 m+y<x+y<m+y+1 같은거..)

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ㅇㅇ

2022-03-28 11:33:07 답글

*수정됨

아 그냥 귀류법 쓰면 됐었네
귀류법) x+y=n인 자연수 n이 존재한다고 하자. 그러면 x=n-y에서 n-y=x는 양의 유리수면서 자연수가 아니다.
또한 n-y=x는 양수이므로, n-y는 정수 또한 아니다. (정수라면 양의 정수가 됨. 즉 자연수가 됨)
하지만 정수집합은 덧셈연산에 대해 닫혀있고 n과 -y는 정수이므로 n-y는 정수이다. 이는 모순이다.

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