내 머릿속에 있는 걸 표현하기에 떠오르는 예시가 이거뿐임
이 비유를 쓸 건 아니지만 그런 인상을 가지고 읽어줬으면 해

0.
쌍대성(duality)는 여러 분야에서 저마다의 정의를 사용하는 참 어려운 용어임
하지만 크게 보면 원래 있던 공간 A에서 다른 공간 B(=A*)로 넘어가며 둘 사이에 대응하는 모종의 관계, * 가 있음을 말함

여기서 모종의 관계를 나는 세상이 뒤집어지는 거라고 말하고 싶음
어떻게 뒤집어지냐면 subset 또는 object의 dimension이 뒤집어지거든

설명으로 다들 잘 알고있는 linear space의 dual space를 볼거임
근데 linear functional이 아니라 linear subspace로 먼저 얘기하려고 해

1.
A라는 n dim'l vector space가 있고 V라는 m dim'l subspace를 고려할 때
dual space B를 A로 두고 dual object V*를 V^⊥로 두겠음
이제 우리는 A에서 B로, subspace를 subspace로 보내는 관계를 얻게 되는데
dimension이 m에서 n-m으로 뒤집힌다는 걸 볼 수 있음
게다가 다른 subspace W가 있을 때 아래와 같은 관계도 얻어짐
V⊆W ⇔ V*⊇W*
(V+W)*=V*∩W*
(V∩W)*=V*+W*

이게 기하적인 dual의 기본이라고 볼 수 있어

눈여겨볼 점은
●inclusion(또는 morphism)의 방향이 바뀐다는 것
●dimension이 뒤집힌다는 것
●뒤집힌 세상에서 그래도 object들 간의 관계가 어떻게 유지된다는 점,
●double dual이 자기 자신이 된다는 점이야
(V**=V, up to isom. if necessary)

이제 다른 기하적인 dual들에 대해 얘기할 건데 길다 싶으면 건너뛰고 대수적인 dual로 가도 됨


1-1. 이제 linear space였던 A를 projective space로 만들 거임
여기서 subspace들 중 {0}과 A는 빼고 기존의 대응관계에 있는 subspace들의 dimension이 같이 1씩 내려감

예를 들어 A=R^3이었을 때(R은 실수)는 plane이 line으로, line이 plane으로 가는데 projectivization으로 P^2로 보면 line이 point로, point가 line으로 가게 됨

위 이미지는 이 예시에서 점과 선이 어떻게 넘어가는지 보여주는데
왼쪽의 4개의 점과 6개의 선이 오른쪽의 4개의 선과 6개의 점으로 넘어가고
왼쪽에서는 1개의 점을 3개의 선이 지나는데 오른쪽에서는 1개의 선 위에 3개의 점이 있음

그림이 저렇게만 그려지는데 세상이 뒤집히는데 도저히 점과 선의 위치가 대응관계 알기 쉽게 그려지지 않음

1-2. 위의 예시는 P^2에서 점과 선으로만 dual을 얘기했는데 물론 더 큰 차원에서도 얘기가 가능함
예를 들어 P^3에서 면을 점으로, 선을 선으로, 점을 면으로 보내는 것으로 말야

이걸 dual graph와 dual polytope, dual cell structure 등에서도 똑같이 다루는데 이건 정의하지 않고 이미지만 넣을게

dual graph는 파란색 그래프를 빨간색 그래프로 넘기는데 면에 파란색 다각형 하나를 빨간색 점으로, 파란 선을 그것과 교차하는 빨간 점선으로 대응시켰어

dual polytope는 더 높은 차원에서 대응시키는걸 다루는데 파란색 다포체의 dual이 보라색 다포체가 돼

더 얘기하려면 Poincare duality까지 갈 수 있는데 궁금하면 호몰로지 공부해

2.
다시 vector space 얘기로 돌아와서
이번에는 대수적인 dual을 볼 거임

B=A로 뒀던 아까와 달리 B=Hom(A,R)로 둠
다시 말해 B는 A에서 R로 가는 linear map, 즉 linear functional들을 모아놓은 vector space를 뜻해
이걸 대수적인 dual space라고 해

그러면 벡터 v와 lin. ftn'l f를 가지고 f(v)를 구할 수 있는데
이 map A×B→R을 natural pairing이라 부름

이게 아까의 기하적인 dual과 어떻게 연관되냐면
A의 subspace V가 있을 때 f(V)={0}이 되도록 하는 모든 f를 모은 걸 V*로 둘 수 있거든
반대로 기하적인 dual에서 벡터 w를 lin. ftn'l f(v)=<v,w>로 고려할 수 있고
그럼 서로 같은 V*을 얻게 돼
물론 아까의 ⊆,∩,+가 나오는 관계식도 만족하고

주의할 점은 A의 벡터 v가 B의 어떤 f와 대응시키려는게 아니라는 거야
duality는 벡터 v≠0를 span해서 line V로 생각해서 그게 codim 1인 subspace V*에 대응되는 거지 f 하나와 대응시키는게 아냐

그럼 아까 w를 <·,w>로 보낸건 뭐냐?
이건 그냥 기하적인 dual을 대수적인 dual로 설명하는 방법임
이 방법은 앞의 B와 뒤의 B를 이어주는 lin. isom.이지 A와 B를 이어주는게 아님

왜 내가 이세계라고 부르는지 느낌이 오지?
dual space는 set-theoretic하게 같은 space로 보이지만 결코 structural하게 같지 않음
같게 만든다면 그건 dual이 아닌 다른 lin isom에 의해서겠지
오히려 방향과 차원이 뒤집힌다니까?

눈여겨볼 점은
●기하적인 dual의 성질 4개랑
●Hom(Hom(A,R),R)=A (isom)이야
A랑 B는 다른데 A랑 C=B* 사이에는 자연스러운 isomorphism이 있다는 거지
이건 v를 Hom(A,R)→R, f를 f(v)로 보내는 하나의 lin ftn'l로 보는 것으로 설명돼
(double dual space of A is isom. to A)


2-1. 이 대수적인 dual은 함수해석 쪽에서 일반화되어 사용돼
무슨 말이냐면 A의 dimension이 무한한, 심지어 uncountable한 경우를 다룬다는 거야
A가 연속함수들의 모임, 무한히 미분가능한 함수들의 모임, 제곱해서 적분이 가능한 함수들의 모임 등등 Banach space가 되어버림

문제는 여기서부터 기하적인 dual의 성질 중 일부가 날아가버림
●dimension 얘기는 무한한 차원에서 의미가 없어지고
●C가 A보다 더 커져버리기도 하고
●그러므로 object의 double dual이 달라지기도 하지(V**≠V)

그럼에도 linear functional으로 접근하는 대수적인 dual은 여전히 함수해석에서 훌륭한 도구야

3.
집합의 dual, dual basis, dual variety, Riesz representation 등 아직 얘기할 주제가 좀 더 남아있는데
dual의 큰 줄기는 이걸로 충분한 것 같음

마지막으로 하고싶은 말은
기하적인 dual이 정말 다양해보이지만 결국은 뒤집힌 세상 dual space로 object들을 대응시키는 도구라는 거임

duality를 이거보다 더 넓은 의미로 사용하는 경우가 있는데 그거는 여기서 얘기한 object들을 대응시키는 것이나 linear functional과는 완전 다른 얘기도 있거든?
그때그때 맥락에 따라 이 사람이 이것도 dual이라 부르려는구나 하고 이해하기바람

읽어보고 모르겠는 말 있으면 나중에 설명 붙일게