그 예전에 문제 올렸던 글쓴이였음
지운 이유는 저작권은 아님. 직접 그림 그렸음
다름이 아니라 그 계정이 그냥 막말하려고 막 만든 계정이라서
그 계정에다 이 문제를 올리긴 좀 그랬음..
내 풀이 또한 시스티나님의 복소수, ㅇㅇ(154.27)님의 논증기하처럼 풀이 중 하나라고 생각했으면 좋겠음.
이게 무조건 정답이고 다른 건 오답이라고 생각하지 말고...
편의상 벡터 표시는 생략하겠음
해설 시작
다음과 같이 사각형의 각 변에 중점 MNOP 를 잡고, 그림과 같이 a, b, c, d 와 α, β, γ, δ 8개의 벡터를 설정함
당연히 a-α, b-β, c-γ, d-δ 이렇게 알파벳 벡터와 그리스 벡터가 쌍을 이룸. 이 쌍을 편의상 벡터쌍이라고 할게.
1. 그리스 벡터에서 +90° 회전하면 알파벳 벡터가 됨
2. 각 벡터쌍끼리 내적하면 0이 됨.
3. a · b = α · β , 즉 같은 계열의 (알파벳/그리스) 벡터를 내적하면 그 벡터쌍을 내적한 것과 같음. 왜냐하면 둘이 동시에 +90도 돌아가니까 끼인각은 변함이 없기 때문.
4. α · b = - a · β , 다른 계열의 벡터를 내적하면 그 벡터쌍을 내적한 것에 음의 부호를 붙인 것과 같음. 왜냐하면 둘은 서로 다른 방향으로 90도씩 돌아가니까 끼인각은 θ 에서 180° - θ 가 되기 때문.
이것이 성립함을 먼저 증명하고 넘어가야 되는데, QR벡터를 사각형 QRUT에서 한 번, QRSP에서 한 번 관계식 찾아서 TU에 대한 관계식으로 나타내면 간단히 증명할 수 있으므로 여기서는 넘어가자.
아래에서는 p, q 대신 이미 절반으로 나누어진 벡터를 사용할 거니 2로 안 나눠도 됨.
보조정리를 이용하면 MO = c + (-a) 니까 EG = - a - β + c + δ
마찬가지로 NP = d + (-b) 니까 FH = α - b - γ + d
이제 두 벡터 MO 와 NP가 서로 수직이고 크기가 같음을 증명하면 되니까
i) MO · NP = 0, ii) MO · MO = NP · NP 임을 증명하면 됨
앞에서 말했던 4가지 규칙에 따라 같은 종류로 바꿔주면 이렇게 깔끔하게 0이 됨
마찬가지로. 각각 내적을 하면
따라서 두 선분은 서로 수직이고 그 길이가 같음.
EG = - a - β + c + δ
FH = α - b - γ + d
사실 여기서 끝내는 방법도 있음
왜냐면 EG를 90°만큼 돌리면 규칙에 따라 FH가 된다는건 자명하니까.
난 이 문제를 이렇게 풀었고, 다시 말하지만 이건 공식적인 답이 아니라 하나의 풀이에 불과하다는 걸,
이 글을 읽고 있는 당신도 충분히 좋은 풀이를 생각해 낼 수 있다는 걸 기억해 줬으면 좋겠음
언제든 시간나면 이 문제 직접 한 번 도전해 봤으면 좋겠음.
