문제글이 삭제된 듯한데, 이유는 잘 모르겠다. 책의 한 페이지를 그대로 스캔한 듯이 보였으니, 저작권 문제가 있었을 수도 있겠다.
내가 기억하기로는 문제는 대충 다음과 같다.
사각형 ABCD 에서 각 변에 정사각형을 붙이는데 각 정사각형은 자기가 붙은 ABCD의 변을 자기의 한 변으로 한다.
AB, BC, CD, DA 에 각각 붙은 정사각형의 중심을 각각 E, F, G, H 라 하면 EG = FH 이고 EG ⊥ FH 임을 보여라.
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원글에 시스티나님의 덧글로 복소수를 이용한 풀이가 있었는데, 아마 그 풀이가 문제의 의도이기도 하겠지만
평면기하로도 풀 수 있다.
임의의 삼각형 ABC 에 대해서, AB, CA 에 붙은 정사각형의 중심을 각각 F, E 라 하고 BC의 중심을 M 이라 하면
ME = MF 이며 ME ⊥ MF 라는 점을 이용한다. (아래에서 증명함.)
대각선 BD 의 중심을 M 이라 하면
ME = MH 이며 ME ⊥ MH, 그리고 마찬가지로 MF = MG 이며 MF ⊥ MG 이기 때문에
삼각형 MEG 는 삼각형 MHF 와 합동이며 MEG를 90도 회전한 형태가 된다.
따라서 EG = FH, EG ⊥ FH 가 성립한다.
(물론 BD 의 중점 대신 AC 의 중점을 이용하더라도 마찬가지이다.)
그러면 이제 삼각형에 대해서 ME = MF 이며 ME ⊥ MF 이 성립한다는 것을 증명해보자.
CB = 2CM, CD = 2CE 이므로 ME = (1/2) BD 이고, ME 와 BD 는 평행하다.
따라서
BD = CG 이고 BD ⊥ CG 임을 증명하면 된다.
그런데 AD = AC 이고 AB = AG 이며 각 BAD = 각 GAC 이므로
삼각형 ABD 는 삼각형 AGC 와 합동이고 삼각형 AGC 를 A를 중심으로 90도 회전한 형태이다.
따라서 BD = CG 이고 BD ⊥ CG
