수 체계에 관심 있으면 한 번은 접했을 증명을 소개합니다. (+ 궁금한 점)
i) 루트 2가 무리수임을 증명하시오.
수 체계에 대한 호기심을 가장 많이 유발했으리라 판단되는 증명입니다만, 대다수의 사람들이 다음과 같은 오답과 헷갈리곤 합니다.
분명히 수학적으로 모순이 없는 것 같은데 오답이라니 뭔가 잘못된 것 같다는 생각도 듭니다.
그러나 이 증명에는 엄청난 비약이 있습니다. (학부생이나 깊게 생각해본 사람이라면 아마 눈치챘을...)
바로 루트2가 '실수'라는 전제를 함부로 쓴 것입니다.
따라서 위 증명은 "루트 2는 유리수가 아니다."라는 것을 증명한 것이지 "루트 2는 무리수이다."를 증명한 것은 아닙니다.
이게 뭔 소리냐? 싶으실 텐데 아래 그림을 보며 이해해봅시다.
위 수체계에서 '유리수'가 아니라면 '무리수'라는 선택지를 제외하고도 '허수'라는 선택지가 존재합니다.
"루트 2가 그럼 허수냐?"라는 생각을 하실 수도 있습니다. 루트2가 실수는 맞습니다만 위 증명은 루트2가 무리수임을 엄밀하게 증명하지는 못할 뿐이지요.
그럼 어떻게 증명해야 하느냐?
바로 루트2가 '실수'임을 증명하면 됩니다.
실수이면서 유리수가 아닌 선택지는 '무리수'밖에 없으니까요.
그렇다면, 루트 2가 '실수'임을 어떻게 증명할 수 있을까요?
간단한 아이디어를 생각해보자면, 루트 2가 실수의 성질을 만족한다면 실수라고 할 수 있지 않을까요?
실수의 성질을 모두 소개하기에는 어려워 실수임을 증명하는 과정을 첨부하고 넘어가겠습니다.
ii) i(루트 -1)가 허수임을 증명하시오.
복소수의 정의에 의해 a+bi 꼴로 나타낼 수 있으므로 복소수체에 포함되는 수임을 알 수 있겠습니다. 따라서 실수가 아님을 증명하면 되겠습니다.
'간단하게 실수를 제곱하면 항상 0이상이다.' (노름, 거리공간 개념 사용)나 실수의 성질인 trichotomy를 사용해도 좋을 것 같습니다. (다른 방법은 잘 모르겠네요.)
이상 허술한 글 마치겠습니다.
<질문>
1. 어떤 수가 복소수체(혹은 사원수 이상)에 포함되지 않는 것을 증명하려면 어떻게 해야하나요?
2. 어떤 방정식의 해가 기존의 수 체계로 표현할 수 없음을 증명하려면 어떻게 해야하나요? (생각해본 것은 교환, 결합 법칙밖에 없음)
