분수와 같은 유리수, 제곱근과 같은 무리수, 허수, 복소수 같은 애들
내가 이해하고 설명할 때는 "기존의 수학 체계(예를 들어 정수)에서는 특정 방정식의 해를 구할 수 없었기에 점점 수학의 체계와 범위를 확장해 간 결과, 유리수, 무리수, 복소수 같은 수들이 탄생했다."라고 말했음.
ax=b 라는 방정식에서 a=5, b=3이면 해가 정수로 나오지 않고 3/5라는 분수(유리수)로 나옴.
그런데 유리수라는 것이 존재하는가? 그것을 수로 볼 수 있는가? 라는 질문이 제기될 수 있음. 정수밖에 없는 세계에서는 유리수의 존재가 증명되어야 할 것이기 때문에.
따라서 위의 식에 대해서 두 가지 대답이 가능함
1. 해가 없다.
2. 해는 존재하며, 그것은 3/5라는 수이다. 그런데 이런 수는 기존의 수학 체계(정수)에는 없는 것이기에 우리는 유리수라는 새로운 체계를 만들어야 한다.
2의 대답이 가능하기 위해서는 '방정식에 해가 존재해야 한다'는 전제가 있어야 함. 이 전제가 없다면 2라는 대답은 불가능.
이 경우, 우리는 왜 방정식에 해가 존재한다고, 존재해야 한다고 말해야 할까?
내가 오랫동안 속으로만 생각하던 의문이었음. 속으로만 생각했던 이유는 사람들이 "뭔 멍청한 소리냐?"라고 무시할 거라고 짐작했기 때문. 아마 이 글을 읽는 똑똑한 여러분이 지금 갖는 생각일 것 같음.
근데 위대한 수학자 가우스도 나와 같은 의문(비판점)을 갖고 있었다는 사실을 최근에 알고 용기 내어 질문함. 이하는 내가 읽은 책에서 발췌한 것임.
18세기 후반에는 방정식의 해를 전부 복소수로 나타낼 수 있다고 주장하는 학자가 나타나기 시작하여 달랑베르, 오일러, 라그랑주 등 고명한 학자들이 '증명'을 내놓았다.
하지만 가우스는 이들이 암묵적으로 어떤 방정식이든 해를 지닌다는 전제하에 증명을 하고 있다고 비판했다. 자세히 말하면 대수 방정식론의 기본 정리는 두 가지 주장을 하고 있다는 분석이다. 주장 중 하나는 방정식이 반드시 어떤 형태의 해를 지닌다는 주장이며, 다른 하나는 그 해를 복소수로 나타낼 수 있다는 주장이다. 가우스가 지적한 것은, 학자들이 암묵적으로 첫 번째 주장을 인정한 상태에서 두 번째 주장만 증명했다는 점이었다.
초등학생들에게 분수를 가르치면서 겪는 어려움 중 하나가 바로
"3을 5로 나눌 수 없는데요? 그건 불가능해요."
라는 질문을 받는 것임. 분수의 존재를 부정한다면, 해가 없다는 것이 맞으니까.
그렇다면 이런 애들에게 분수의 존재를 어떻게 인정하게 해야 할까. 수학이 종교도 아니고, 그냥 그렇다고 믿어라!라고 말할 수도 없는 노릇이고. 물론 애들이니까 '걍 선생님 말 듣고 외워~'이러면 잘 따라주긴 하는데,
뭔가 양심에 걸려서 이렇게 질문함.
