y'=y(4-ty)의 방향장을 판단하고 몇개의 해를 그려라, 그리고 t->inf일 때, 해의 모양판단,

t=0일 때 초깃값 k에 따라 해의 모양의 변화를 판단하는 것이 문제입니다.


비선형이므로

y'=f(t,y), af/ay = 4-2ty를 구하고 t=0일 때,f(t,y)와 af/ay가 연속이므로 0을 포함한 구간에서 y는  1게 비선형 미방의 존재성과 유일성 정리에 따라 해가 존재할 것입니다.

이후 주어진 문제에 대한 답에 어떻게 접근해야 할지 잘 모르겠는데, 알려주시면 감사하겠습니다.


* 수정

1) y'=y(4-ty)

2) y'=-y(4-ty)


t가 증가할 때, 어떤 모양이고 t=0일 때, 초깃값 k에 따라 해의 모양이 어떻게 달라지는지 알아보시오

가 문제입니다.


1)은 방향장 그래프에서 비록 y=4/t 기준으로 y의 기울기가 다르지만, stable sol이 4/t이고 t->inf일 때, 4/t -> 0이므로

초깃값을 양수,음수 기준으로 음수면 y->-inf, 양수면 0으로 수렴하는 것을 방향장 그래프를 통해 쉽게 알 수 있었습니다. 어차피 y>0인 구간에서 전부 y->4/t로 수렴하기 때문이니까요.


그런데 2)는 방향장 그래프가 0<y<4/t구간서 y가 감소하고,

                                       4/t<y 구간서 y가 증가하로 1)처럼 y의 움직임을 판단하기 쉽지 않은데, 책에서 정답은


k<16 => y->0, k>16 => y->inf로 되어 있습니다. 이러한 해가 어떻게 나오게 되나요