거듭제곱 합 공식의 어떤 식의 증명 - 수학 채널

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수학 정보 거듭제곱 합 공식의 어떤 식의 증명

자유극대필터

추천 0 비추천 0 댓글 3 조회수 585 작성일 2022-11-25 08:41:40

https://arca.live/b/math/63802274

일단 이걸 증명하는 거임.

참고로 거듭제곱 합 공식은 다항식 그거임.

1+2^n+3^n+...m^n=f_n(m)이고 f_n가 다항함수라고 하자.(즉 거듭제곱 합 공식)

조금 글씨가 좋지는 않지만 증명은 했음.

귀납법이 생각보다 강하네.

이게 되는구나.

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자유극대필터

2022-11-25 08:43:02 답글

이제 이거랑 거듭제곱 합 공식은 상수항이 없다는 걸 절묘하게 사용해서 간단히 n제곱수 합 공식으로 n+1제곱수 합 공식을 적분으로 유도할 수 있음.이미 올렸지만

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ㅇㅇ (154.27)

2022-11-26 20:02:14 삭제 수정 답글

이것도 다른 방식으로 증명할 수도 있음.
f_m(n) - f_m(n - 1) = n^m  을 n 에 대해 미분하면  f'_m(n) - f'_m(n - 1) = m n^(m-1)
f_(m-1) (n) - f_(m-1) (n-1) = n^(m-1)  이므로
 f'_m(n) - f'_m(n - 1) = m (f_(m-1) (n) - f_(m-1) (n-1))
따라서 모든 자연수 n 에 대해서
f'_m(n) - f'_m(0) = m (f_(m-1) (n) - f_(m-1) (0))
한 번 더 미분하면
f''_m(n) = m f'_(m-1) (n)  즉 f''_m(n) - m f'_(m-1) (n) = 0
f''_m 과 f'_(m-1) 은 모두 m-1차 다항식이므로  f''_m(n) - m f'_(m-1) (n) 도 m-1차 이하의 다항식이고, 이 다항식의 근이 무한히 많다는 것은 f''_m(n) - m f'_(m-1) (n) = 0 이 tautology 인 경우에만 성립함.
따라서  f''_m(n) = m f'_(m-1) (n)

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자유극대필터

2022-11-26 23:09:25 답글

오...그런 방법도 있구나

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