뫼비우스 변환과 관련하여 질문입니다.

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질문 뫼비우스 변환과 관련하여 질문입니다.

ㅇㅇ (121.160)

추천 0 비추천 0 댓글 13 조회수 483 작성일 2022-11-26 11:26:23

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https://arca.live/b/math/63888985

h가 z |-> (az+b)/(cz+d)인 뫼비우스변환일 때,

이 때 3번째 그림에 있는 h( (az+b)/(cz+d) ) 의 함수값을 어떻게 Azz* +Bz+B*z*+c (*:=conjugate)꼴로 만들 수 있을까요??

댓글 [13] 글쓰기

lilmonix3

2022-11-26 12:31:02 답글

함수 h가 첫번째 사진의 첫번째 식 아님?? 세번째 식 전개가 잘 이해가 안되는디

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ㅇㅇ (121.160)

2022-11-26 14:00:30 삭제 수정 답글

h(z) : z |-> az+b/cz+d일 때, h(aw+b/cw+d)는 z=(aw+b)/(cw+d) 라는거 아닌가요

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lilmonix3

2022-11-26 14:11:12 답글

첫번째사진에서 h는 뫼비우스변환이 아니라 원인것 같은데

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lilmonix3

2022-11-26 14:13:01 답글

원의 식 h(z)=Azz*+... +C=0 의 z에다가 z=(aw+b)/(cw+d) 넣고 정리해보라는거 아닌가

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ㅇㅇ (121.160)

2022-11-26 17:29:23 삭제 수정 답글

그렇게 하면 너무 복잡하게 되는데, 혹시 어떻게 정리가능한지 알려주실 수 있으신가요..ㅜ 노가다로 해야하나요?

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ㅇㅇ (121.160)

2022-11-26 17:46:39 삭제 수정 답글

아니면 (aw+b/cw+d) = z 가 복소수이니, 분수로 변환하지말고 z로  h(z)=Azz*+... +C=0가 원의 형태를 띄는 것을 정리하여 증명해도 되는건가요?

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lilmonix3

2022-11-27 12:46:24 답글

미안한데 막댓은 무슨 말인지 모르겠음...
문제를 잘 이해해야 필요가 있는 것 같은데, 뫼비우스 변환에 의해 원(편의상 원1)이 원(편의상 원2)으로 보내진다는 말은 무슨 말이냐면
Azz*+Bz+B*z*+C=0을 만족하는 원1 위의 점 z들에 대해, z → w=(az+b)/(cz+d) 인 변환을 시켰을 때 새로운 변환점 w가 원2로 가게 된다는 말임

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lilmonix3

2022-11-27 12:53:51 답글

그니까 w가 어떤 방정식을 만족하는지를 알아본 다음에, 그 방정식이 원의 방정식임을 보이면 되겠지?
우리가 알고 있는 조건은 Azz*+Bz+B*z*+C=0니까. z를 w에 대해서 표현한 뒤에 저 식에 대입해야 w가 어떤 방정식을 만족하는지 알 수 있겠지
w=(az+b)/(cz+d)를 풀면 적당히 z=(a'w+b')/(c'w+d')가 되겠지? 저걸 원의 방정식에다가 대입해.
그래서 통분해서 분자를 계산해. 복잡하긴 하지만 그 계산을 하는 거 말고는 방법이 없어

근데 중요한거는 뭐냐면 이걸 정리해서 나오는 방정식이 원의 방정식이라는 것만 보이면 된다는거지. 구체적인 계산을 끝까지 할 필요가 없이.
그러니까 확인하면 되는 건 아래의 두 가지밖에 없어.
1) 식을 정리하면 ww*, w, w*, 상수항 외에는 다른 항이 나타나지 않는다. 그니까 A'ww*+B'w+B''w+C'=0 꼴이 된다. (계수들의 값은 구체적으로 알 필요가 없음)
2) B'*=B''이다. (원의 방정식 꼴이 그렇게 생겼으니까)
이 계산은 할 수 있으리라 믿을게 대학수학 공부하는 듯 하니...

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ㅇㅇ (121.160)

2022-11-27 14:59:23 삭제 수정 답글

*수정됨

k=(aw+b)/(cw+d) = a+(b-ad)/(cw+d)라 하면, h(k)는 1/w의 적당한 평행이동이나 대칭이동의 합성 같은 걸로 이루어져 있다고 볼 수 있을테니 1/w를 원의 방정식에 대입해 원의 꼴이 나타난다고 하면 모든 경우에 가능하다는 것을 보이게 된다는 것도 옳은 증명방법이 될까요?? 그런데 h(z)원의 방정식에 1/w를 대입하면,  애초에 h(1/w) = A(1/w)(1/*w)+B(1/w)+B*(1/w*)+C =0 로 원의 방정식이 자동으로 되는 것 같은데 이것도 옳은 풀이인가요?

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lilmonix3

2022-11-27 15:05:14 답글

적당한 합성함수로 원을 보내면 왜 원이 되는거지?

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ㅇㅇ (121.160)

2022-11-27 15:10:43 삭제 수정 답글

*수정됨

k=(aw+b)/(cw+d) = a+(b-ad)/(cw+d)는 1/w를 적당한 스칼라곱과 x, y축 평행이동한 꼴인데, h(1/w)가 만일 원으로 사상된다면, h(1/w)이 원 모양이니 이를 평행이동하면 원이 단순 좌표이동하는 거고, 원의 방정식에 스칼라 곱을 해도 가령 x^2+y^2=1 에서 k(x^2+y^2)=k 라 해도 원 자체가 다른 모양으로 흐뜨러지진 않으니 상관없지 않나요?

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lilmonix3

2022-11-27 15:13:19 답글

아 댓글 수정했구나
뭐 그래도 맞는 풀이가 될듯하긴 하네
a,b,c,d가 복소수인건 알고 있지? 풀이를 엄밀하게 잘 쓸수만 있다면야...
나는 사진의 책에서 의도한 풀이를 설명한 거라고 생각하셈

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lilmonix3

2022-11-27 13:02:19 답글

아 그리고 노파심에 하는 말인데 z=(a'w+b')/(c'w+d')로 바꿀 때 a' b' c' d' 얼만지 전혀 중요하지 않음... 계산 안 해도 돼 왜냐면 원의 방정식 "꼴"이 나와야 한다는게 중요하니까

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