1) 우선 (2는 당연히 되고) 4n+1꼴의 모든 소수는 두 제곱수의 합으로 표현이 가능하다.
이건 Don Zagier가 1990년에 Roger Heath-Brown의 증명을 간략화하여 단 한 문장으로 증명을 마쳤다.
Source : The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
2) 4로 나눈 나머지를 살펴 보면 4n+3꼴의 소수는 절대로 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다는 것을 알 수 있다.
3) (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2임을 행렬로 보일 수 있다.
4) 따라서 어떤 수가 두 제곱수의 합으로 표현이 불가능하려면 3)의 형식으로 분리가 더 이상 안 되어야 하는데, n^2=n^2+0^2의 식으로 분해해 본다면 4n+3꼴의 소인수의 지수 중 홀수인 게 단 하나라도 존재하면 두 제곱수의 합으로 나타날 수 없다는 것을 알 수 있다.
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참고 : Roger Heath-Brown의 세 장짜리 paper는 이 링크 안에 있다.
https://www.researchgate.net/publication/266218880_Fermat's_two_squares_theorem
Don Zagier보다는 길지만, 간단하고 아름다운 증명이 아닐 수 없다.
