https://arca.live/b/math/75777873
평행이동과 회전 변환 등을 고려하면 결국 두 초점이 (±1, 0)인 경우와 닮았거나 원이라는 사실을 알 수 있다. 즉,
((x-1)² + y²)^(r/2) + ((x+1)² + y²)^(r/2)= A
형태가 될텐데 s = r/2라고 하면 결국
((x-1)² + y²)^s + ((x+1)² + y²)^s = A
임 여기서 내가 궁금한건 사실 s → 0+이랑 s → ±∞였음.
근데 무지성으로 s 보내면 도형이 찌그러질 수 있으니 한 점을 고정했음. 바로 (n, 0)임 그러면 A가 정해지면서
((x-1)² + y²)^s + ((x+1)² + y²)^s = (n-1)^2s + (n+1)^2s
로 식이 변하게 됨.
exp(s ln ((x-1)² + y²)) + exp(s ln ((x-1)² + y²)) = exp(2s ln (n-1)) + exp(2s ln (n+1))
에서 s = 0에서 근사를 취하면
2 + s ln ((x-1)² + y²) + s ln ((x+1)² + y²) ≈ 2 + 2s ln (n-1) + 2s ln(n+1)
근사지만 대강 넘어가면
((x-1)² + y²)((x+1)² + y²) = (n-1)²(n+1)²
(x²+y²+1)² - (2x)² = (n²-1)²
x⁴ + y⁴ + 2(x²+1)(y²-1) = n⁴-2n²-2(constant)
라는 형태가 나오게 됨.
그래서 궁금하니 n=2를 넣어 봤음
파란 곡선은 r = 0.2(s = 0.1)일 때 exact 곡선이고, 빨간 선은 s → 0+의 근사 곡선임.
s → ∞는 근데 이야기가 좀 다름.
((x-1)² + y²)^s + ((x+1)² + y²)^s = (n-1)^2s + (n+1)^2s
여기서 s → ∞에서 수렴해야 무한대에서 급수 근사 같은 걸 생각할 수 있기 때문임.
대신, 다음과 같은 생각을 할 수 있음.
x > 0에서 ((x-1)² + y²)^s보다 ((x+1)² + y²)^s가 dominant할 거임. 그리고 당연히 (n-1)^2s 보다 (n+1)^2s가 dominant할 거임. 곧, 대충 근사를 해서
((x+1)² + y²)^s = (n+1)^2s (x > 0)
((x-1)² + y²)^s = (n+1)^2s (x < 0)
그러면 (|x|+1)² + y² = (n+1)²라는 것을 알 수 있음.
이건 알겠지만 두 원호를 럭비공 모양으로 붙여놓은 거임.
역시 n = 2 때려넣어보니
이런 형태가 나옴.
날카로운 보라색이 s → ∞에서 근사식이고 파란색은 s = 15에서 exact 식이 나옴. 꽤 재밌는 듯?
마찬가지로 s → -∞의 경우는 양의 무한대로 가는 건 비슷하지만 dominant한 항이 바뀔 거임. 그니까
(|x|-1)² + y² = (n-1)²
를 근사적으로 따를 거임.
역시 파랑은 s = -15에서 정확한 그래프, 보라는 s → -∞의 근사 그래프임.
결론은
1. 두 초점이 (±1, 0)인 변형 타원의 방정식은 ((x-1)² + y²)^(r/2) + ((x+1)² + y²)^(r/2)= A이고, 사실 모든 변형타원은 이 형태 중 하나와 닮았다.
2. s = 0에서 식은 x⁴ + y⁴ + 2(x²+1)(y²-1) = n⁴-2n²-2(constant)로 근사된다. 이게 뭔 곡선인지는 잘 몰?루
3. s → ∞에서 식은 (|x|+1)² + y² = (n+1)²로 근사된다. 이는 두 반원보다 작은 원호의 결합이다.
4. s → -∞에서 식은 (|x|-1)² + y² = (n-1)²로 근사된다. 이는 두 반원보다 큰 원호의 결합이다.
