수 라는 것이 어디서부터 어디까지를 이르는 말인지 생각해 볼 필요가 있는데,
일단 실수집합과 나아가 복소수집합의 원소를 수 라고 본다면,
실수집합의 대상을 수직선에 표시할 수 있음.
좀 더 자세히 말하자면, 서로다른 두 실수는 크기를 비교할 수 있고, 따라서 서로 같지 않은 실수들은 서로간에 다른 위치에 표시할 수 있음
게다가 임의의 서로 다른 두 실수를 '크다', '작다' 라고 표현한 것에서 큰 방향, 작은 방향을 연이어 표시한다면, 마치 직선을 표현한 것 마냥 나타낼 수 있음.
애초에 실수집합은 공리로서 '완비순서체' 라고 정의를 하기도 함.
이는 체의 공리, 순서공리, 완비성 공리를 만족하는 집합을 말하는데,
쉽게 말해, 체의공리는 사칙계산과 분배법칙이 잘 정의되어 있는 것,
순서공리는 임의의 두 대상을 크기 비교 할 수 있고 그 결과 크다, 작다, 같다 3가지 중에서 1가지를 반드시 가져야 하며, 또 부등식의 성질 (양수를 더하거나, 곱해도 부등호 방향은 그대로, 음수를 더해도 그대로, 음수를 곱하면 반대)을 만족하는 것
완비성공리는 실수들을 순서대로 나열했을 때, 빈틈이 없을 것을 의미해.
더 간단히 말해서, 체의 공리로 서로다른 실수들을 끝없이 만들어 내고(정확히는 유리수들을 만들어내고)
순서공리로 이들을 일직선상에 나열할 수 있고,
완비성공리로 이들(유리수) 사이의 틈을 매울 수 있어서,
실수집합 이라는 의미와, 수직선 이라는 의미는 같은 것을 하나로 볼 때(up to isomorphic) 동치관계에 있는 대상들이라서 같은 것으로 취급할 수 있거든
일단 나 교수 아님, 수학전공으로 대학교 3년정도 다니면 누구나 아는 내용임.
체의공리, 순서공리, 완비성공리를 각각 대수적 공리, 위상적 공리, 해석적 공리라고도 하는데,
과목 이름이 해석학, 대수학,위상수학을 2학기 정도 (케바케 이긴 한데 3학기 하기도 함) 배움.
무한한 대상이 나오면 약간 머리아프긴 한데, 유한인 것 마냥 다루어서 (몫집합, 기저, 수렴 등등) 제법 재밌음