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질문 자연수 정의

자유극대필터

추천 1 비추천 0 댓글 9 조회수 401 작성일 2023-06-27 05:43:46

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https://arca.live/b/math/79623771

이게 자연수의 정의라는데

s(I)=I∪{I}⊆I라 하면 I∈I이니 모순 아님?

아니면 저기서 s(I)는 {s(i)|i∈I}라는 의미인가?

이거면 어느 정도 이해되지만 자연수도 집합인데...

댓글 [9] 글쓰기

Hess

2023-06-27 08:37:19 답글

Axiom of infinity 쓰려면 s(I)를 {s(i)|i∈I}로 보는게 맞는거같음
근데 바로 위의 s의 정의와 상충되어서 표현을 남용했다고 봐야겠네

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Hess

2023-06-27 08:45:45 답글

엄밀하게 쓰려면 s(I)를 {s(i)|i∈I}로 해석하는거를 피하고 inductive set을 정의한 뒤 그것들의 intersection으로 서술해야함

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자유극대필터

2023-06-27 08:51:21 답글

그런가요..
{}∈{s(i)|i∈I}⊆I에서 엄밀하지 않은 부분이 있나요?

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Hess

2023-06-27 08:56:18 답글

두가지를 다 사용하기로 하면 s(I)=I∪{I}={s(i)|i∈I}가 되니까 s(I)={s(i)|i∈I}를 쓰지말자는거뿐임
곧바로 {}∈I⊇{s(i)|i∈I}로 쓰는 것도 좋은듯

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자유극대필터

2023-06-27 08:57:29 답글

아 그런거였군요.
지금보니 {}∈{s(i)|i∈I}부분은 실수했네요;;

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sw1wswq

2023-06-27 08:38:01 답글

*수정됨

집합론 책 아무거나 읽어보셈 어렵지 않으니까 
정의역 공역 적당한 함수 f와 정의역의 부분집합 A에 대해 f(A) = { f(x) : x∈A } 맞음
저런 I가 존재하느냐 하면 I = U s^n(0) 이면 가능 적어도 I >= U s^n(0) 이고 N이 그러한 I들의 교집합이니까 정확히 U s^n(0)임
자연수 정의에 자연수가 쓰인게 문제 있지 않느냐 할수있는데 걍 이해를 돕기 위해서 쓴거니 뭔말하는진 알꺼임

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Hess

2023-06-27 08:49:14 답글

둘 다 받아들여서 I∪{I}=s(I)={s(i)|i∈I}가 되어서는 안되니까 확인차 질문한듯

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sw1wswq

2023-06-27 09:19:56 답글

단순히 s(x) = x U {x} 라서 s(I) = I U {I} 라고 했으면 논리 오류고 I = {a, b}만 해도 반례가 나옴
위에 잘못 썼는데 ZF에서 infinity axiom이 그냥 바로 저런 I가 존재한다는 얘기였으니 쉽게 받아들이고 가면 될듯

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월정액러

2023-06-27 08:53:28 답글

*수정됨

예를 들어
0:={}
1:={0}={ {} }
2:={0,1}= { {}, {{}} }
3:={0,1,2}=…
…
n:={0,1,…,n-1}
n+1:={0,1,…,n-1,n}
…

이런 관점에서 볼 때,
n+1={0,1,…,n-1}U{n}=nU{n}

이라고 볼 수 있고 n is not in {n}임

저 표현 자체는 이상하긴 한데,

문맥상 n개를, 아니 자연수 알에프제로를 다 적지 못하니,
수학적 귀납법을 이용하여, 첫 경우인 0을 정의하고,
s(x):=xU{x}를 정의한 다음,

0과 s{x}를 포함하는 집합을 생각해 볼 수 있음
단 x in X, 여기서 X는 0을 포함하는 집합임.

그런데 문제가 있는 것이, 위의 조건을 만족하는 서로 다른 집합이 너무 많아.

예를 들어
N, NU{-1}, NU{-1,-2},…

그래서 이들을 모두 교집합 하여 가장 작은 N을 찾아냈지.

물론 동형이면 같은 것으로 보아 (up to isomorphic) 서 말이야.

예를 들어 {a0, a1, a2,… an,…}집합과 {b0,b1,…,bn,…}집합이 다른 집합인데 같은 구조
an in a(n+1), bn in b(n+1) 구조를 가진다면,

두 집합은 1개의 대상으로 볼 때 말야

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