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수가 실존한다는 건 어떤의미일까

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추천 6 비추천 0 댓글 7 조회수 701 작성일 2023-06-25 21:17:25 수정일 2023-06-25 21:17:52

https://arca.live/b/math/79529017

따지고 보면 자연수도 실존한다고 볼수 가 없음. 가령 사과가 3개 있다고 할 때 3이라는 수는 1+1+1로 나타내어지고 각각의 1은 완전히 동등하지만, 각각의 사과는 전혀 동등하지 않고 크기나 모양, 무게가 조금씩 다를 수 밖에 없음. 그럼에도 우리는 사과라는 큰 틀 안에서 비슷한 특징을 가진 몇몇 개체들을 추상화해서 동등한 1개의 사과로 인식함. 즉 애초에 수라는 것은 현실 그자체를 나타내거나 현실에 실존하는 것이 아니라 현실을 우리가 인식하는 과정에서 일어나는 추상화를 표현하는 체계임. 그리고 허수는 현실을 나타내는 방식이 다른 수체계보다 비직관적일뿐이지, 실존하느냐에 대해서는 자연수나 실수와 다르지 않다는 기 내 생각임.

댓글 [7] 글쓰기

막걸리

2023-06-27 05:36:30 답글

그래서 피아제는 수를 다루는 것 그 자체가 반영적 추상화의 범주에 들어간다 했죠ㅋㅋ

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월정액러

2023-06-27 08:49:29 답글

오랜만에 들어보는 용어네, 피아제는 나이에 따라서 조작할 수 있는 수준이 달라진다고 생각했으며, 각 수준의 단계는 반드시 순차적으로 이루어진다고 생각했지.

그러한 조작을 통해서 세상을 인식하고, 기존의 인식으로 세상을 인식하기 힘든 새로운 상황을 만나고, 새로운 조작과 함께 분화과정을 거치며, 동화와 조절, 반사와 반성을 통해 반영적 추상화 과정을 거치며 자식이 구성되어 간다고 생각했고,

이러한 그의 주장은 기존의 교육철학인 절대주의와는 달리, 구성주의의 이론적 배경이 되어, 피아제의 구성주의를 조작적 구성주의라고도 불렸던 것 같음.

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월정액러

2023-06-27 08:42:00 답글

자연수를 ‘인식’할 때, 너무 당연하게 그냥 사용했지만,

자연수라는 것 자체가 덧셈과 떨어지기 힘든 개념이고,

덧셈은 ‘단위’와 떨어지기 힘든 개념임

햄버거 2세트를 시켰더니 햄버거 2개, 콜라 2잔, 감자튀김 2봉지가 나왔다고 해서
2+2+2=6 이라는 개념으로 연결되지는 않지.

먹을 것이 6개 있네, 라고 생각했다면, 그 순간 너는 단위 재조정이 있었고
’먹을 것‘ 이라는 같은 단위 하에 덧셈을 한 거임.

키가 얼마에요?
1m 70cm요 라고 한다면 1+70=71 이라는 개념에 도달하지 않고

같은 단위를 가짐 다는 것 자체가 수학적으로 보면 동치관계에 있는 거니까,

1+1=2 라는 것 자체도 엄청 추상적인 개념임

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막걸리

2023-06-27 09:47:42 답글

크으으으으

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2023-06-28 10:15:23 답글

*수정됨

우리가 현실의 물체나 현상을 수라는 개념으로 추상화할 때 그 기준이 되는 사회적 약속이 있다면 그게 곧 "단위"라고  볼 수 있을까?

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월정액러

2023-06-28 12:23:17 답글

사회적 약속이라… 뭐 틀린것은 아닌데, 수학에서 말하는 동치관계라는 것은 3가지 조건을 만족하는 관계임

수학에서 밀하는 관계라는 것은, 두 집합A,B가 있을 때,
카테시안곱AxB의 부분집합을 말하는데, 쉽게 말해서 적당한 순서쌍들을 모은 집합이 관계R야.

가령 a in A, b in B에 대해서 a와 b가 관계가 있으면 aRb라고 표현하기도 하고 (a,b) in R 이라고 표현하기도 해.

동치관계란, 1.반사관계 2.대칭관계 3.추이관계 이렇게 3개의 관계가 동시에 있을 때를 말해.

반사관계란, aRa (a와 a가 관계있어)
대칭관계란, aRb 이면 bRa인 관계야 (a와b가 관계 있다면, b와a도 관계가 있어)
추이관계란, aRb, bRc 이면 aRc야 일명 삼각논법 이라고도 불리지
(a와b가 관계 있고, b와a가 관계 있다면, a와c 도 관계있어)

여기까지 읽으면, 추상적이니까 예를 들어볼게,

대표적 동치관계가 등호야.
자연수 잡합N에 대하여 관계=는 NxN의 부분집합으로
 (1,1) in = 라고 할 수 있고, 좀 더 자주사용하는 표현으로는
1=1 이지.

두 집합 (NxN),N에 대하여 부분집합 + 역시 관계라고 할 수 있어
( (1,1), 2) in =라고 할 수 있고, 좀 더 자주 사용하는 표현으로는 1+1=2가 있지

이는 함수 +:NxN->N +(a,b)= a+b라고 볼 수 있거든

1+1=1+1,  2=2
1+1=2 이면 2=1+1
1+1+1=2+1, 2+1=3 이면 1+1+1=3

등등 등호=는 동치관계의 3가지 관계를 만족함을 알 수 있어,

단위라는 것이라기 보다는 ‘같은 단위’ 라는 것이 동치관계와 관련 있겠네

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월정액러

2023-06-28 12:47:51 답글

단위라는 것은 수학샘들이 너무 당연해서 스킵하는 경향이 있는데
상당히 중요한 개념임.

단위들을 사용하다보면 자연스럽게, 단위변환이 따라옴.

A시장에서 사과 2개를 묶어 파는데, B시장에서는 3개를 묶어서 판다면?

자연수1 단위에서, 2,3단위 등등 다양한 단위를 사용할 수 있고,
자연수 단위 변환에서 엄청 자연스럽게 양의 유리수의 개념이 나옴

2 (1단위) 라는 것은 2/3 (3단위) 라고 볼 수도 있거든

1/2+1/3 라는 것도 1단위에서 1/6단위로 변경하여
3 (1/6) + 2 (1/6) = 5 (1/6) 이라고 볼 수 있음

단위변환을 하면, 양의 유리수의 계산은 그냥 자연수의 계산이거든

역사적으로도 자연수 다음 정수가 아니라 양의 유리수를 다루었고
이 때문인지 초등학교 수학교육과정에서는

자연수의 사칙계산 다음에 정수의 사칙계산이 아니라
분수의 사칙계산 으로 넘어감.

그리소 소수 (prim number 아님) 역시 단위를 1단위에서 1/10단위 1/100 단위로 변환하는 계산일 뿐임.

그리고 이러한 소수의 단위변환은 대학교 2학년에 해석학 배울 때,
완비성 공리 배우면서, 아르키메데스성질(또는 원리) 배우는 것과 관련있음.

그리고 이러한 단위변환은 벡터공간의 변환에서의 야코비안이나

미분 적분에서 dy=f’(x)dx 라는 것도 일종의 단위변환 이라고 볼 수 있음

2(1단위)= 2/3 (3단위) 에서 f’(x)가 2/3 마냥 보정값 같은 거임

선형대수학이나, 나아가 대수학에서 ’무한‘한 대상을
마치 ’유한’ 한 대상인것 마냥 다루는 방법 중 하나가

‘기저’를 다루는 것인데, 기저변환 역시 단위변환인 것 마냥 생각해 볼 수 있음

선형대수학의 중요개념인 대각화도, 고유벡터들을 새로운 기저로 기저변환 한 것이기도 하고,

이러한 단위변환 자체가 일종의 합성함수 처럼 생각할 수도 있고

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