dy/dx가 분수는 아니지만

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질문 dy/dx가 분수는 아니지만

림물르

추천 4 비추천 0 댓글 13 조회수 588 작성일 2023-07-24 18:22:23

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https://arca.live/b/math/81937629

dy/dx=1/dx/dy 같은 성질은 성립하는데

자연로그에 dy/dx 넣으면 ln(dy)-ln(dx) 됨??

댓글 [13] 글쓰기

우유듬뿍밀크티

2023-07-24 20:03:22 답글

dy 와 dx는 무한소에 가까운 개념이기 때문에 inf-inf꼴이라 의미가 없어요.

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월정액러

2023-07-24 21:05:05 답글

dx,    dy,    dy/dx,    dxdy 등등 각각은 사용가능하지만, 이들은 실수가 아닙니다. 복소수도 아니구요

이들을 따로 정의해서 사용합니다.
그렇기 때문에 분수가 아니라고 하는 거구요.(dxdy도 단순곱셈이 아닙니다.)

ln(dy) - ln(dx)라는 것을 어떻게 정의할지 부터 고민해 봐야겠지만, 새롭게 잘 정의한다면 사용 못 할 것도 없겠죠?

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Hess

2023-07-24 22:36:32 답글

*수정됨

differential 1-form은 cotangent bundle의 section이니까 dy/dx가 curve 위의 cotangent bundle의 두 section dx, dy을 나눈 거라면 dy/dx가 0,∞가 안되는 locus U에서 exponential map의 inverse로 하나 구해서 log(dy/dx)를 meromorphic function으로 볼 수 있음 (+2nπi는 생략)

이제 아래 diagram이 commute하도록 g:Ω→Ω를 정의하면

    exp
  O→O*
d |     | d
   v    v
  Ω→Ω
     g

O의 section s에 대해 
g:ds→exp(s)ds가 되어야함
여기서 log(dy)=d(log(y))=(1/y)dy로 잡으면 g(log(dy))=dy가 됨
그러면 log(dy)-log(dx)= (dy)/y - (dx)/x
도 역시 meromorphic 1-form이지


간단히 말하면 log(dy/dx)는 함수고 log(dy)-log(dx)는 미분이라서 정의되길 형식 자체가 다름

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Hess

2023-07-24 22:45:58 답글

*수정됨

dx랑 dy가 무엇인지 아는 것은 물론 중요하고
log(dx)가 정의된다면 그것이 무엇인지 아는 것도 중요함
문제 해결의 첫단계가 문제를 이해하는 것이라고 하잖아
결론이야 형식 자체가 다르다는 걸로 끝이지만 log(dx)를 말하기 전에 그게 뭔지는 알아야한다 생각해서 길게 적어봤음

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ㅇㅇ

2023-07-25 03:44:03 답글

어우 대수기하 짜릿해

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ㅇㅇ (118.47)

2023-07-25 13:27:45 삭제 수정 답글

두 번째 줄 보고 궁금해진 건데 저런 bundle의 section, 그러니까 일반적으로 tensor field끼리의 나눗셈을 어떻게 정의할 수 있음? dy/dx 떡밥에서 자주 나오는 얘기 중 하나가 1-form끼리 어떻게 나눠요? 이건데 그때마다 어떻게 설명해야 할지 모르겠었거든 방향 미분 처음 정의할 때도 벡터로 몫을 취하는 게 불가능해서 고민해보는 얘기가 나왔던 것 같은데

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Hess

2023-07-25 13:43:50 답글

그래서 curve로 한정함

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ㅇㅇ (118.47)

2023-07-25 13:46:28 삭제 수정 답글

커브 위에선 나누는 게 가능한 건가

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Hess

2023-07-25 13:47:00 답글

그땐 그냥 line bundle이니까

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Hess

2023-07-25 15:08:16 답글

*수정됨

1. manifold 위에서 분수처럼 생각하기

일반적인 manifold M에서는 dx에 대해서 조금 더 얘기해야함
말한 것처럼 벡터를 벡터로 나누는 모양이라 dy를 dx로 나눴다고 바로 말할 수가 없어보이지만 한 점 p에서 tangent direction을 하나 잡을 때마다 위의 curve 경우처럼 분수로 계산할 수 있음
다시 말해서 p에서 dx,dy를 T_p M → R으로 볼 때 dy/dx를 두 함수를 나눈 것, 즉 rational function on T_p M으로 고려할 수 있음
이때 상수배가 상쇄되므로 이제 이걸 p에서의 projective tangent space에서 정의된 rational function으로도 보는거지
줄이면 dy/dx는 두 함수를 나눠서 구한, projective tangent bundle의 total space PT_M에서 정의된 rational function으로 구해짐

이때 M이 curve면 PT_M을 그냥 M으로 쓸 수 있고 그냥 기존의 dy/dx가 됨
(더 나아가 PT_p 전체에서 정의가 된다면 이는 constant이고 dy/dx at p가 정의되었다고 할 수도 있음)

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Hess

2023-07-25 15:32:17 답글

*수정됨

2. dy/dx의 정의대로 생각하기

반면 M 위의 두 함수 x,y에 대해 dy/dx는 ∂y/∂x를 잘못 쓴게 아닌 이상 x를 y의 단일 변수로 고려하는 것이 가능해야함
그럼 local coordinate z에 대해 (∂y/∂z_i)/(∂x/∂z_i)=dy/dx가 성립하고 이는 z_i의 선택에 의존하지 않음
따라서 dy=∑(∂y/∂z_i)dz_i=(dy/dx)∑(∂x/∂z_i)dz_i=(dy/dx)dx가 성립하고 dy는 dx의 상수배가 되지
dy/dx는 그 비, 좋게 표현하면 dy를 dx로 나눈 것으로 구해짐
(y가 x의 함수로 표현되는건 아주 한정적인 상황이며 1에서 dy/dx at p가 정의되는 상황이 되어서 같은 정의가 됨)

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ㅇㅇ (118.47)

2023-07-25 15:47:51 삭제 수정 답글

*수정됨

오 자세한 설명 감사함 내가 원하는 얘기인 것 같음

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고사리비빔밥

2023-07-25 00:45:03 답글

유래는 진짜로 분수에서 온 게 맞다는데 그래서 현재 혼란이 오나

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