f_n(x)=x^2-p_n (p_n은 n번째 소수)라고 하자.
일단 irr(Q,√p_n)=f_n(x)는 자명함.
우선 임의의 치환 σ:N→N와 임의의 k≤n에 대해 irr(Q(√p_(σ(1)),√p_ (σ(2)) ,...,√p_ (σ(k-1))),√p_ (σ(k)))=f_(σ(k))(x)라고 가정하자.
그러면 {√p_(σ(1)),√p_ (σ(2)) ,...,√p_ (σ(k-1))}은 √p_ (σ(k))를 생성하지 못함을 가정하게 되는데...
우선 k=n이라 가정해도 이건 유지가 되고 임의의 k≤n에 대해 저런 게 성립이 되니 {√p_(σ(1)),√p_ (σ(2)) ,...,√p_ (σ(n-1)),√p_ (σ(n))}=S는 선형독립임.
그리고 {√p_(σ(2)),√p_ (σ(3)) ,...,√p_ (σ(n)),√p_ (σ(n+1))}도 선형독립임을 알 수 있음.
즉 자명하게 {√p_(σ(2)),√p_ (σ(3)) ,...,√p_ (σ(n))}=A도 선형독립.
a√p_(σ(1))+b√p_(σ(n+1))=0을 만족하는 유리수 a,b를 생각하는데 우선 a,b가 모두 0이 아니라 가정하자.
그럼 √p_(σ(1))=b/a√p_(σ(n+1))가 되는데 서로 다른 두 소수의 제곱근은 유리수배 관계가 아님으로 모순이다.
그럼 a=0이라 가정하면 b√p_(σ(n+1))=0인데 √p_(σ(n+1))≠0이므로 b=0일 수 밖에 없음을 알 수 있다.
즉 {√p_(σ(1)),√p_(σ(n+1))}는 선형독립이다.
적당한 0이 아닌 유리수 a,b가 존재해 a√p_(σ(1))+b√p_(σ(n+1))=b√p_(σ(2))라 가정하자.
여기서 제곱을 하면 a^2p_(σ(1))+b^2p_(σ(n+1))+2ab√(p_(σ(1))p_(σ(n+1)))인데 p_(σ(1))p_(σ(n+1))은 제곱수가 아님은 자명하다.
즉 모순으로 a=b=0일 수밖에 없다.
이걸 임의의 2이상의 i<n+1에 대해 적용하면 {√p_(σ(1)),√p_(σ(i)),√p_(σ(n+1))}가 선형독립임을 알 수 있다.
또 √p_(σ(1)),√p_(σ(n+1))가 무리수니까 {1,√p_(σ(1)),√p_(σ(n+1)),√p_(σ(i))}이 선형독립임은 자명하다.
√p_(σ(i))∉span{1,√p_(σ(1)),√p_(σ(n+1))}=X
1,√p_(σ(1)),√p_(σ(n+1))∉span(A)=Y이기에 X∩Y={0}
X+Y=Z라 하면 X⊕Y=Z임은 자명하고 또 Z⊆Q(√p_(σ(1)),√p_(σ(2)),...,√p_(σ(n)),√p_(σ(n+1)))이다.
그리고 A∪{1,√p_(σ(1)),√p_(σ(n+1))}=A'는 Z의 기저가 되며 Q(√p_(σ(1)),√p_(σ(2)),...,√p_(σ(n)),√p_(σ(n+1)))의 선형독립집합이 된다.
A'={1,√p_(σ(1)),√p_(σ(2)),√p_ (σ(3)) ,...,√p_ (σ(n)),√p_(σ(n+1))}=S∪{1}∪{√p_(σ(n+1))}이니 S∪{1}로는 {√p_(σ(n+1))}를 생성할 수 없으므로 즉 irr(Q(√p_(σ(1)),√p_ (σ(2)) ,...,√p_ (σ(n))),√p_ (σ(n+1)))=f_(σ(n+1))(x)가 성립한다.
여기서 치환 σ를 항등함수로 두면 수학적 귀납법에 의해 임의의 자연수 n에 대해서 irr(Q(√p_1,√p_ 2 ,...,√p_ (n-1)),√p_ (n))=f_n(x)임도 알 수 있다.
그리고 이걸로 [Q(√p_1,√p_ 2 ,...,√p_ n):Q]=2^n임을 알 수 있다.
여기서의 Z의 기저 A'를 Q(√p_1,√p_ 2 ,...,√p_ n)의 기저가 되도록 확장한 기저 A''를 생각하자.
그리고 Q(√p_1,√p_ 2 ,...,√p_ n)의 원소 x가 유리수이려면 1을 제외한 기저의 계수는 항상 0일 수밖에 없다.
1+√2+√3...+√n를 생각하면 소인수분해에 의해 1,√p_1,√p_ 2 ,...,√p_n들의 곱의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
여기서 2k^2≤n인 최대의 자연수 k를 생각하면 √2의 계수는 k 이상일 것이다.
그리고 2≤n라는 가정에 의해 1≤k이고 또 √2∈A'⊂A''이기에 1+√2+√3...+√n는 항상 무리수이다.
이렇게 하면 될까요?
