자연수 순서대로 나열 기댓값 문제

수학 채널

알림 알림 중 알림 취소

구독자 2300명 알림수신 53명 @시스티나

각종 수학 이야기를 해는 채널

간단한 문제 자연수 순서대로 나열 기댓값 문제

이과지망생

추천 2 비추천 0 댓글 10 조회수 404 작성일 2023-09-04 14:36:27 수정일 2023-09-05 07:29:23

https://arca.live/b/math/85451388

2번 소문항 추가했어요

댓글 [10] 글쓰기

note

2023-09-04 15:45:31 답글

p(A)=1/2 같은 경우는 있을 수 없고 a1이 큰 경우와 a2가 큰 경우가 대등하게 있으니까 2번 답은 e-1, a1은 당연히 확보되어있고 n개 이상의 숫자가 순서대로 나열될 확률은 1/n!이니 개별 기댓값을 구하지 않고 그 총합만 생각하면 1+1/2!+1/3!...+1/n!...로 생각할 수 있으니까

펼쳐보기▼

이과지망생

2023-09-05 07:32:56 답글

개별 기댓값을 구하지 않고 그 총합만 생각하면 <- 이거 무슨 말인지 모르겠네요.
암튼 둘 다 정답!
2번 소문항도 도전 ㄱㄱ?

펼쳐보기▼

note

2023-09-05 08:09:06 답글

간단히 표현할려니 조리있게 설명을 못 했음, 암튼 개별 기댓값의 합으로 구할려면 밑에 풀이처럼 식이 지저분해지니까, 차라리 모든 경우의 수에 1의 값을 주고 2이상 정렬되는 확률에 1을 다시줘서 2가 나오는 경우 받지 못한 1을 보상, 3의 경우는 앞서 1, 2를 계산할 때 받았으니 1만 주면 되니까 그런 식으로 확률을 더해서 탑을 쌓아간단 소리였음. 그럼 식을 ∑1/n! 형태로 간단히 표현할 수 있으니까. E(Xk)의 일반식을 구했으니 소문항은 간단함, E(Xk+1)-E(Xk)= 1/(n+1)!이고 E(X1)=1, 
 lim(n→∞)E(X) = e-1이니까.

펼쳐보기▼

이과지망생

2023-09-05 08:25:02 답글

ㅇㅎㅇㅎ 이해했어요 좋은 풀이네요.
추가한 소문항(2)는 e-1과 1, 2를 직접적으로 비교하기보단 E(x_k)의 일반항을 사용하여 1, 2를 비교하는 것을 의도했습니다.

펼쳐보기▼

이과지망생

2023-09-07 11:28:36 답글

https://arca.live/b/math/85676031

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (154.27)

2023-09-04 19:45:19 삭제 수정 답글

(2)는 e - 1/2
m<n 일 때 X=m 은 첫 m+1 개의 수 중에서 m+1번째 수가 최대가 아니고 나머지 m개의 수는 순서대로 나열되는 사건이므로
P(X=m) = (m/(m+1)) (1/m!) = m/(m+1)!
물론 P(X=n) = 1/n!  이고, P(X=m) = 1/m! - 1/(m+1)! 이므로 확률의 합이 1이 된다는 것은 쉽게 확인할 수 있음.
E(X) = ∑ m P(X=m) = (∑(m=1 to n-1) m^2/(m+1)!) + n/n!
= (∑(m=1 to n-1) (m(m+1) - (m+1) + 1)/(m+1)!) + n/n!
= (∑(m=1 to n-1) (1/(m-1)! - 1/m! + 1/(m+1)!) + n/n!
= (1/1! - 1/2! + 1/3!) + (1/2! - 1/3! + 1/4!) + (1/3! - 1/4! + 1/5!) + ... + (1/(n-2)! - 1/(n-1)! + 1/n!) + n/n!
= 1/1! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/(n-2)! + 1/n! + n/n!
= (1/1! + 1/2! + ... + 1/n!) - 1/2! - 1/(n-1)! + n/n!
lim(n→∞)E(X) = e - 1/2

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (223.39)

2023-09-05 01:13:39 삭제 수정 답글

(1/1! - 1/2! + 1/3!) + (1/2! - 1/3! + 1/4!) + (1/3! - 1/4! + 1/5!) + ... + (1/(n-2)! - 1/(n-1)! + 1/n!) + n/n! 이부분 풀 때 m=1이 아니라 2부터 시작하신거 같음. 1/0!부터 시작해야 e가 되잖슴

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (154.27)

2023-09-05 01:24:20 삭제 답글

이과지망생

2023-09-05 08:26:36 답글

의도한 E(X_n)의 일반항을 구해서 푸는 풀이네요. 잘 푸셨어요. 
새로 추가한 소문항(2)도 풀이 도전 ㄱㄱ?

펼쳐보기▼

이과지망생

2023-09-07 11:28:42 답글

https://arca.live/b/math/85676031

펼쳐보기▼

댓글 작성

업로드 중

0초

녹음 중지 삭제

글쓰기

전체글 개념글

최근 최근 방문 채널

최근 방문 채널

전체 수학 정보 공지·운영 질문 교육 정보 유머 간단한 문제 정답/풀이 답변 운영 대회

번호 제목

작성자 작성일 조회수 추천

수학을 찍먹 하면서 느끼는 점

ㅇㅇ (58.127) 2023.09.06 240 2

시험 볼 때 쓸데없는 실수 하는거 존나 빡치네 [4]

카페인쿠키 2023.09.06 320 4

간단한 문제 절대부등식 문제 [4]

이과지망생 2023.09.06 500 1

유머 9평 보고 어? 하는 순간 [2]

ㅇㅇ (182.231) 2023.09.06 579 3

유머 9모 근황 [14]

apka 2023.09.06 669 3

이번 9모 22번 이게 맞냐 [2]

Mili 2023.09.06 344 2

큰 수에 대해 알아갈수록 점점 복잡해진다 [3]

그것이로망 2023.09.05 269 1

질문 합성함수 질문 [8]

Dddddddd 2023.09.05 295 0

질문 수학 초보 증명문제 질문있음 [2]

어그로꿈나무 2023.09.05 405 0

간단한 문제 전기요금 폭탄 문제 [6]

이과지망생 2023.09.05 340 0

간단한 문제 의외로 많이 헷갈리는 일차함수 범위 문제 [4]

이과지망생 2023.09.05 494 0

수학 뉴비 해석학에서 사망 [5]

ㅇㅇ (218.235) 2023.09.05 359 1

너무 풀이가 해석학 숙제같아서 쓰기싫었는데

Hess 2023.09.05 331 0

선형대수의 악몽 [5]

ㅇㅇ 2023.09.04 295 3

거대수 정원수 같은 것들 읽어 보니까 [5]

그것이로망 2023.09.04 1310 2

간단한 문제 자연수 순서대로 나열 기댓값 문제 [10]

이과지망생 2023.09.04 404 2

학부 졸업한 수학 1도 모르는 뉴비인데요 [1]

ㅇㅇ (112.151) 2023.09.04 316 1

간단한 문제 [2]

시스티나 2023.09.04 289 0

간단한 문제 어려운 정적분과 급수 문제 [1]

이과지망생 2023.09.04 416 0

정답/풀이 적분방정식 풀이 비스무리한거 [2]

Blasted99 2023.09.04 287 2

풍요 속의 빈곤-7차 전략 모집 [4]

wertox 2023.09.04 218 1

풍요 속의 빈곤-6차 결과 3 [2]

wertox 2023.09.04 166 2

유머 n!꼴로 나타낼수있는 제곱수가있을까? [7]

고양이_57 2023.09.04 480 0

유머 약후) 방금 유머채널에서 미친 댓글을 보고 옴 [12]

시스티나 2023.09.03 695 13

귀류법을 처음 이해했을 때는 신기했으면서도 허무했음 [4]

ㅇㅇ 2023.09.03 365 0

선대군 vs 프리드버그 [3]

파커돔 2023.09.03 654 0

형님들 현고3 수학과 지망입니다. [4]

제발닥쳐쓰레기들아 2023.09.03 350 0

질문 고등학교 교육과정 질문좀 할게요 [8]

ㅇㅇ (218.153) 2023.09.02 446 2

수학 입문은 할래야 할 수가 없네요.. [2]

취미로컴퓨터하는사람 2023.09.02 385 4

수학 정보 신발끈 공식의 이상한 증명 [5]

시스티나 2023.09.02 810 3

글쓰기

전체글 개념글