길어서 귀찮다고
더 재밌는 풀이가 있을거같은데 일단 풀린대로 써봄



f_0=0 (사실 1이든 sin x든 0과 1 사이로 아무거나)
f_{n+1}(x) := ∫_0^1 sin(x+f_n(t)) dt
(귀납적으로 0과 1 사이)
Note. x,y∈[0,1]면 |cos x| ≥ |cos(x+y)|

norm || · ||을 max| · |로 정의함

||f_{n+1} - f_n||→0 as n→∞인 경우 문제가 바로 끝남
(unif. conv.라 lim이 ∫ 안으로 들어감, norm이 metric을 줘서 cauchy seq.까진 안써도 됨, 존재만 하면 연속성은 문제의 주어진 식에 따라 바로 나옴)

이후로 변수랑 언더바 등 좀 생략해서 쓰겠음

관찰 2개
||fn-f{n+1}||=|fn(xn)-f{n+1}(xn)| for some xn,
||fn-f{n+1}|| nonincreasing
(∵|fn(x)-f{n+1}(x)|
≤∫ |sin(x+f{n-1})-sin(x+fn)|
≤∫|f{n-1}-fn|
≤||f{n-1}-fn|| )

Suppose ||fn-f{n+1}||→c>0 for some c

||fn-f{n+1}||=|fn(xn)-f{n+1}(xn)|
≤∫ |sin(xn+f{n-1})-sin(xn+fn)|
=∫ |2sin[(f{n-1}-fn)/2]| |cos[xn+(f{n-1}+fn)/2]|
≤||f{n-1}-fn|| ∫ |cos[xn+(f{n-1}+fn)/2]|
≤||f{n-1}-fn|| ∫ |cos[(f{n-1}+fn)/2]| (위의 Note.)

So lim ∫ |cos[(f{n-1}+fn)/2]| =1

잠시 L1 sense로 넘어가면
lim (f{n-1}+fn)/2는 almost everywhere 0이고
fn≥0이므로 lim fn=0이다 (이것도 a.e.)
그러나 이때 ∫ sin(x+f_n(t)) dt는 0으로 가지 않으므로 모순

따라서 그런 c>0는 없고 위의 경우만이 남아 문제가 끝남



이런건 간단한 문제가 아니라고 생각해요...