텐서와 벡터의 차이가 뭔가요?

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텐서와 벡터의 차이가 뭔가요?

데굴데굴빙글뱅글

추천 1 비추천 0 댓글 14 조회수 577 작성일 2023-09-28 07:58:57

https://arca.live/b/math/87400238

유튜브에 마땅히 해설된 게 없는 것 같아서 이해가 잘 안 가네요....

한 영상에서 두 개의 벡터를 갖는 물리량으로 알려줬는데

솔직히 벡터의 합과 다른 게 뭔지 잘 감이 안 옵니다...

양자역학 등지에서 사용되는 텐서는 어떤 느낌으로 이해하면 되나요??

댓글 [14] 글쓰기

시스티나

2023-09-28 08:10:24 답글

2-텐서 -> 행렬처럼 생각하셈

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note

2023-09-28 08:29:13 답글

여러개의 백터를 행렬로 표현했다고 생각하셈

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ㅇㅇ

2023-09-28 11:46:28 답글

벡터는 그냥 점이고, 텐서는 k-linear function임.

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데굴데굴빙글뱅글

2023-09-28 12:04:58 답글

ㅇㅇ (118.47)

2023-09-28 16:01:21 삭제 수정 답글

수학자: 텐서도 벡터다
물리학자: 텐서처럼 변환되는게 텐서다

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ㅇㅇ (118.47)

2023-09-28 16:04:30 삭제 수정 답글

*수정됨

수학에서 텐서는 윗댓처럼 벡터공간 V 위에 정의된 k-linear function임. V에 속하는 k개의 벡터를 받아서 수 하나를 대응시켜주는 함수인데 k개의 벡터 각각에 대해 다 linearity가 있는 그런 함수임. 이런 함수들의 집합도 벡터공간이 되기 때문에 이런 맥락에서 k-linear function으로서의 텐서는 벡터임. 
물리학(특히 양자역학)에서의 텐서는 대부분 어떤 대칭군의 텐서 표현이나 그것에 해당되는 연산자를 얘기함.

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데굴데굴빙글뱅글

2023-09-29 01:11:59 답글

벡터에 대해 선형적이다라는 걸 어떻게 받아들이면 좋을지 잘 이해가 안 가네요 선형성도 잘 안 들어와서... 그냥 벡터를 돌리고 늘려서 만들수 있으면 선형적인가요??

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자유극대필터

2023-09-29 03:54:55 답글

선형성은 벡터에는 벡터끼리의 덧셈과 스칼라배라는 두가지 연산이 존재하는데 이 두가지 연산을 분리할 수 있다는 느낌이에요.
f(au+v)=af(u)+f(v)라는 소리죠.
여기서 k개의 각 벡터에서 선형적이라는 건 텐서가 k개의 벡터변수를 갖는 함수인데 거기서 아무 거나 k-1개의 변수를 고정한 함수 f(x)를 생각할 때 f는 벡터에서 스칼라로 가는 함수인데 여기서 f가 선형적이라는 뜻이죠.

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데굴데굴빙글뱅글

2023-09-29 04:12:40 답글

K-1개의 변수가 상수가 되면 독립변수를 벡터로 받게 되는데 그럼 그 텐서함수가결과값을 스칼라로 도출한다는 건가요...? 어떻게 그렇게 되는지 모르겠네요... 연산값이 왜 스칼라인지...?

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자유극대필터

2023-09-29 04:32:29 답글

아 텐서의 치역이 스칼라의 집합이에요.

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자유극대필터

2023-09-29 04:34:50 답글

*수정됨

간단히 예를 들자면 f:R^3→R이 텐서라는 건 임의의 실수 a,b에 대해 f(a,b,x),f(a,x,b),f(x,a,b)가 모두 선형변환(선형성을 만족하는 함수,f(a,b,x)등은 x에 대한 함수로 볼 때)가 된다는 소리에요.

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데굴데굴빙글뱅글

2023-09-29 04:41:17 답글

많이 어렵네요 일단 윤곽은 잡은 것 같아요 ㅋㅋㅋㅋ

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ㅇㅇ (118.47)

2023-09-29 07:31:18 삭제 수정 답글

*수정됨

행렬식을 안다면 n×n 행렬을 n차원 열벡터 n개가 있는 것으로 이해할 때 이의 행렬식은 각각의 n개 열벡터들에 대해 모두 선형적인 alternating n-linear function(form)임. 한국어로는 다중선형사상이라고 함. alternating은 임의의 두 열벡터의 자리를 바꾸면 부호가 반대가 된다는 뜻(교대성 혹은 반대칭성).
실수 벡터 공간 위에서 정의된 내적도 두 벡터 모두에 대해 선형적이므로 bilinear function이라고 말할 수 있음. (복소수 위에서 정의된 벡터 공간의 내적은 이렇지 않음.)

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데굴데굴빙글뱅글

2023-09-29 09:09:15 답글

설명 들으니까 다시 모르겠네... 개념어들 좀 찾아보고 다시 올게요

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