SU(2) SO(3) homomorphism - 물리 채널

채널위키 알림 알림 중 알림 취소

구독자 1859명 알림수신 34명 @Bremsstrahlung

물리학을 다루는 채널이지만 우표수집도 환영합니다

SU(2) SO(3) homomorphism

ㅇㅇ (222.110)

추천 2 비추천 0 댓글 7 조회수 304 작성일 2023-01-27 11:23:26

https://arca.live/b/physics/68433714

물리고수님들 저의 오개념을 바로잡아주셔서 감사합니다....

https://arca.live/b/physics/67608209?p=1 (Jones Vector를 이용한 SU(2) 이해)

https://arca.live/b/physics/68348196?p=1 (물리적 회전과 스핀)

위 글의 오류들에 대한 수정입니다.

---

SO(3)

SO(3)은 벡터 회전으로 이루어진 군임. 구 위의 점은 2개의 숫자만으로 나타낼 수 있지만(위도 경도), 임의의 회전을 나타내려면 실수 3개가 필요함. SO(3)의 generator는 다음과 같음.

이게 군론식 표기법인데, 임의의 방향 회전에 대해 이런 식으로 쓸 수 있어서 편리함.

SU(2)

스피너의 회전으로 이루어진 군임.

대략 이렇게 쓸 수 있는거 같음

근데 스피너 회전 변환은 e^(Sa) 가 아니라 e^(iSa) 가 된다. 유니터리해야 하니까 분명 그래야 하긴 할텐데, 정확히 왜 그런지는 모르겠다. [Sx,Sy] = i[Rx, Ry] 라서 그런거 같긴 한데 잘은 모르겠다.

SO(3) SU(2) homomorphism

SO(3)의 회전변환과 SU(2) 회전변환을 일대일 대응할 수 있고, 변환규칙이 근방에서는 일관되어 있다.

스피너 회전 A에 대해, 3차원 벡터 회전변환 R(A)는 아래와 같이 계산할 수 있다.

편광판

스핀 projection operator는 인데,

Sx 방향 편광판에 대해 Sz 방향 SU(2) 변환을 해 보면 아래와 같이 SO(3)에서 2 theta 회전을 하는 것을 볼 수 있다.

위의 일반식에 넣고 Sz를 변환 해 보면

A=e^{i Sz theta}일 때

R(A) = 가 된다. i는 왜 자꾸 들어가는지 모르겠다. 계산하다가 뭔가 삐꾸난거 같음...

댓글 [7]

ㅇㅇ (166.104)

2023-01-27 12:03:51 삭제 수정 답글

SU(2)랑 SO(3)는 2-to-1 대응임

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (223.38)

2023-01-27 12:15:29 삭제 수정 답글

네 말씀대로 일대일이 아니고 2대1이네요. 그래서 보면 theta가 2 theta 되어 있는거죠. 고쳐 주셔서 감사합니다.

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (211.207)

2023-01-27 14:20:19 삭제 수정 답글

*수정됨

삐꾸나신거 맞는거같아요 sin theta = (exp(iωt)-exp(-iωt))/2i 로 계산하셨나요

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (211.104)

2023-01-27 14:41:19 삭제 수정 답글

알려주셔서 감사합니다. 
알려주신 대로 해 보니까 R(A) = [[cos(2theta) -sin(2theta) 0] [sin(2theta) cos(2theta) 0] [ 0, 0, 1]] 회전 변환이 맞게 나오네요.

R(A)에서 sin항 잘못 나온거를 알려주신 대로 고쳐서 아래와 같이 고쳤습니다. cos항도 1/2 사라지고요.

(latex 코드입니다. latex.codecogs.com/legacy/eqneditor/editor.php 같은 곳에 붙여 넣어서 확인해 주세요)
R(A)_{21} = \frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left(\begin{bmatrix}
0 &-i \\ 
i & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
e^{i\theta} & 0\\ 
0 & e^{-i\theta}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 
 1& 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
e^{-i\theta} & 0\\ 
0 & e^{i\theta}
\end{bmatrix}\right)\\= \frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left(\begin{bmatrix}
0 & -ie^{-i\theta} \\ 
ie^{i\theta} & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & e^{i\theta}\\ 
e^{-i\theta} & 0
\end{bmatrix}\right)\\
= -\frac{e^{i2\theta}-e^{-i2\theta}}{2i} = -\sin(2\theta)

create, integrate and download

Online LaTeX Equation Editor - create, integrate and download

HTML LaTeX equation editor that creates graphical equations (gif, png, swf, pdf, emf). Produces code for directly embedding equations into HTML websites, forums or blogs. Images may also be dragged into other applications like Word. Open source and XHTML compliant.

*수정됨

알려주셔서 감사합니다. 
알려주신 대로 해 보니까 R(A) = [[cos(2theta) -sin(2theta) 0] [sin(2theta) cos(2theta) 0] [ 0, 0, 1]] 회전 변환이 맞게 나오네요.

R(A)에서 sin항 잘못 나온거를 알려주신 대로 고쳐서 아래와 같이 고쳤습니다. cos항도 1/2 사라지고요.

(latex 코드입니다. latex.codecogs.com/legacy/eqneditor/editor.php 같은 곳에 붙여 넣어서 확인해 주세요)
R(A)_{21} = \frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left(\begin{bmatrix}
0 &-i \\ 
i & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
e^{i\theta} & 0\\ 
0 & e^{-i\theta}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 
 1& 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
e^{-i\theta} & 0\\ 
0 & e^{i\theta}
\end{bmatrix}\right)\\= \frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left(\begin{bmatrix}
0 & -ie^{-i\theta} \\ 
ie^{i\theta} & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & e^{i\theta}\\ 
e^{-i\theta} & 0
\end{bmatrix}\right)\\
= -\frac{e^{i2\theta}-e^{-i2\theta}}{2i} = -\sin(2\theta)

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (118.235)

2023-01-29 09:19:35 삭제 수정 답글

SU(2)에서 i를 넣어주는 이유는 그냥 컨벤션이라고 생각하시면 될 것 같습니다. SO(3)의 경우도 양자상태에 작용하는 연산자(각운동량 연산자)를 고려하는 경우 i를 붙여주기도 합니다. SU(2)와 SO(3)의 리 대수가 동일하기 때문에 제너레이터들이 만족시키는 교환자 관계식도 동일하고 구조상수도 동일합니다.

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (222.110)

2023-01-30 05:53:27 삭제 수정 답글

감사합니다!

펼쳐보기▼

ㅇㅇ (118.235)

2023-01-30 08:34:48 삭제 수정 답글

좀 더 정확히 말하면 컨벤션이라기보다는 해당 군을 표현할 수 있는 수많은 표현(representation)들 중 하나를 사용한 것인데 양자역학에서는 상태벡터들이 projective Hilbert space의 원소("ray")이기 때문에 projective (anti-)unitary representation을 씁니다. i를 붙여줌으로서 제너레이터들은 허미션이 되고 오퍼레이터는 유니터리가 됩니다.

펼쳐보기▼

댓글 작성

업로드 중

0초

녹음 중지 삭제

전체글 개념글

최근 최근 방문 채널

최근 방문 채널

전체 질문 정보 유머 연재 과학 뉴스 SF 잡담 공지

번호 제목

작성자 작성일 조회수 추천

질문 근데 핵같은게 떨어지면 [6]

효도게림 2023.02.02 198 0

질문 COMSOL 이미지 따는 법 질문드립니다 [15]

qidjejd7347925 2023.02.02 330 2

나 나름대로 실험중이었는데 ㅜㅜ [1]

ㅇㅇ (211.207) 2023.02.02 124 1

대학원 간 친구들은 물리가 유튜브보다 재밌어? [9]

ㅇㅇ (39.112) 2023.02.02 318 2

chatgpt가 공부하다 궁금한 거 있으면 잘 대답해주네 [4]

논리학 2023.02.02 240 2

잡담 chatgpt 후기 [4]

부동액응결 2023.02.02 258 2

여러 강의들을 보다보니 드는 생각 [3]

ㅇㅇ (211.207) 2023.02.01 171 2

난이도 있는 용수철 문제 [2]

이과지망생 2023.01.31 437 1

흔한 역학 문제 [5]

이과지망생 2023.01.31 247 1

님들은 방학동안 뭐하면서 지냈음? [3]

익명희망 2023.01.31 186 1

맨해튼 계획 관련 인물들을 독립유공자로 [1]

BoJo 2023.01.30 158 2

질문 머학원 간 사람들은 영어공부 어캐했음? [5]

공대생카짓 2023.01.30 315 3

고딩 물리에 에너지보존 문제 많이 나오는데 설명은 부실함 [2]

ㅇㅇ (1.228) 2023.01.28 205 2

물리와 관련된 이야기는 아니지만 [3]

ㅇㅇ (39.112) 2023.01.27 194 3

질문 미분방정식의 해의 허수부에 관한 질문 [13]

짓같은법 2023.01.27 379 2

SU(2) SO(3) homomorphism [7]

ㅇㅇ (222.110) 2023.01.27 304 2

질문 물리문제 풀이 중 이해가 안되는게 있어 질문합니다 [9]

ㅇㅇ (119.200) 2023.01.27 215 0

qPCA 간단한 논문 리뷰 [3]

ㅇㅇ (222.110) 2023.01.26 182 3

물리적 회전과 스핀 [4]

ㅇㅇ (222.110) 2023.01.26 296 2

차 넘어가는 이유 이거 아닐까 [13]

몰루 2023.01.24 329 0

질문 차가 운동중 급회전할 시에 회전 반대 방향으로 전복되는이유 [6]

공대생카짓 2023.01.24 287 1

수학, 물리 잘하고 싶다 [2]

ㅇㅇ (119.70) 2023.01.24 236 1

잡담 고딩때 화학과 지망이었다가 물리학과옴 [3]

용사시러 2023.01.24 298 3

잡담 란다우역학 번역 괜찮네 [1]

ㅇㅇ (117.17) 2023.01.23 254 2

유머 양자붐은... 온다! [2]

etale 2023.01.23 409 4

질문 대형 스크린 같은걸 보고 있으면 분광선들이 보이는데 이건 뭔지 아시나요?

ㅇㅇ (211.207) 2023.01.23 121 1

비틀림 응력이 항복점을 넘는 운동의 예 [1]

익명희망 2023.01.23 139 4

질문 파이썬 독학서적 추천해죠 [7]

중망호 2023.01.22 207 1

질문 문득 레이저기술의 기본 원리가 궁금해짐 [1]

LaidDog 2023.01.22 157 1

질문 마찰 관련 질문 있음 [3]

슈룹 2023.01.21 160 1

전체글 개념글