곱의 미분법 일반화의 증명

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수학 정보 곱의 미분법 일반화의 증명

hanyoo

추천 1 비추천 0 댓글 5 조회수 1664 작성일 2021-03-10 23:58:42

https://arca.live/b/math/22611579

y=fg를 미분하면 f'g+fg'입니다.

마찬가지로 y=fgh를 미분하면 f'gh+fg'h+fgh'이죠. 일반화하면

(abcd...)'=a'bcd...+ab'cd...+abc'd...+...이 됩니다.

이를 증명하는 쉬운 방법으로는 log(자연로그)와 chain rule을 이용하는 것이 있습니다.

댓글 [5] 글쓰기

막걸리

2021-03-11 00:10:58 답글

오..

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hanyoo

2021-03-11 00:25:54 답글

오류가 있네요... 밑에서 두번 째 줄 마지막이 분모와 분자가 바뀐 것 같아요... 이런 실수를

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ㅇㅇ (110.11)

2021-03-11 04:04:13 삭제 수정 답글

저거 f_i(x)가 0이거나 음수이면 안 되지 않음?

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hanyoo

2021-03-11 07:00:26 답글

복소함수로 확장하면 됨

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ㅇㅇ (110.11)

2021-03-11 09:06:15 삭제 수정 답글

복소함수로 확장하면 된다라... 너무 말을 쉽게 하시는 것 같음.

복소 해석학은 잘 못하지만,

우선, z=re^(it)라고 할 때, ln z = ln r + it 라고 표현할 수 있겠는데, 여기서 첫 번째 문제는, t가 유일하지 않다는 거임.

z가 0인 경우는 여전히 성립하지 않음. 그러면, 각각의 r에 대해서 t를 유일하게 설정해줄 수 있어야 하고, 그 상황에서 ln이 연속함수이고, 미분 가능하다는 걸 따로 보여야 함.

그리고 복소수 포함해서 복소 함수로 확장하겠다는 순간, 미분 가능한 복소 함수 간의 합성 함수의 미분법도 다시 증명해야 하고, 두 함수를 곱한 미분법도 다시 증명해야 함. 당장 ln (-1)만 계산해도 순허수가 나오는데,
최소한 저걸 복소수 상에서 참이라고 간주해서 고교 과정의 수준이 아님은 설명했어야 한다고 봄.

그리고, 여기서 ln을 주어진 정의역 전체에서 미분 가능한 함수라고 잘 잡아도(잘 잡을 수 있을지는 모르겠다만) 여전히 남아 있는 문제는, ln 0은 여전히 정의가 되지 않는다는 거임. 아니면, 여기서 설마 ln 0을 잘 정의해서 미분 가능한 함수가 되도록 했어야 함.

또한 마지막으로, f'(x)가 0인 경우에는 저 시그마 안에 분모가 0이 되는 항이 존재하므로 수학적으로 성립하는 식이라고 볼 수 없음.

합성 함수의 미분에서 x=k일 때 미분 가능성 증명할 때도, f(g(x))에서 g(x)=g(k)가 되는 실수 x가 k의 근방에서 언제나 존재하는 케이스 때문에 트릭이 필요함.

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