1번 문제 풀이

f(x)≤0 인 다항 함수.

F=f+f'+...+f^(n)이라고 하면,

f(x)는 짝수 차항 다항함수이고, 최고 차항의 계수가 음수또는 f(x)=0이어야 함.

f(x)=0인 경우는 자명.

f(x)가 짝수 차항 다항함수라고 하자.

F=f+F'이 성립, F-F'=f≤0,  F'≥F가 성립.

이때, F(a)>0인 실수 a가 존재하면, F는 연속함수이고 F는 음의 무한대로 발산하므로, a보다 큰 실수들 중 F(b)=0인 최솟값 b가 존재하고, (F(b)-F(a))/(b-a) =F'(c) <0 인 c∈(a, b)가 존재, F(c)>0, F'(c)<0이므로, F(c)-F'(c)=f(c)>0이므로 모순.

따라서 F ≤0

2번 문제 풀이