간단한 정의 : 실수 집합의 부분 집합 A와 실수 r에 대해, A+r={a+r | a∈A}라고 합시다. 

가령, 양의 정수 집합 N에 대해, N+0.5= {1.5, 2.5, 3.5, ....}입니다.  

집합 A가 countable이라는 것은, A가 공집합 또는 자연수 집합에서 A로 가는 전사 함수(surjection)가 존재하는 것을 의미한다고 합시다. 가령, 유리수 집합, 공집합, 임의의 유한 집합들은 모두 countable합니다. 

그러면 다음의 문제들에서 예시가 있으면 예시가 존재함을 보이고, 예시가 없으면 없다는 것을 증명해 봅시다. 

1. 어떤 실수 x에 대해, [0, 1)=AU(A+x)가 되고 A와 A+x가 서로소인 [0, 1)의 부분집합 A가 존재하는가?

2. 어떤 실수 x에 대해, [0, 1]=AU(A+x)가 되고, A와 A+x가 서로소인 [0, 1]의 부분집합 A가 존재하는가?

3. 어떤 실수 x에 대해, (0, 1)=AU(A+x)가 되고, A와 A+x가 서로소인 (0, 1)의 부분집합 A가 존재하는가?

4. 어떤 실수 x에 대해, [0, 1]=AU(A+x)가 되고, A∩(A+x)가 countable인 [0, 1]의 부분집합 A가 존재하는가? 

5. 어떤 실수 x에 대해, (0, 1)=AU(A+x)가 되고, A∩(A+x)가 countable인 (0, 1)의 부분집합 A가 존재하는가?

6. 다음 그림의 도형을 서로 합동인 도형들 7개로 나눠라. (자세한 설명은 영어 참조)