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이거 왜이런지 이해를 못하겠음

코오오오징

추천 0 비추천 0 댓글 12 조회수 459 작성일 2021-09-26 02:11:49 수정일 2021-09-26 02:13:31

https://arca.live/b/math/34784298

도대체 왜 저렇게 정의하는지 모르겠음

위상공간도 저런식으로 정의하는것 같던데 저기서부터 막혀버리니까 모르겠다..

댓글 [12] 글쓰기

다경

2021-09-26 02:25:42 답글

*수정됨

연산이 m위에서 잘 정의되는게 목적이니까

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다경

2021-09-26 02:42:39 답글

부분순서집합 위에서 union이 정의되기 위한 집합인듯

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코오오오징

2021-09-26 03:09:19 답글

아 그럼 M은 그냥 연산이 정의되는 집합들을
 모아놓은 집합이라 보면되나요?

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다경

2021-09-26 03:12:53 답글

애초에 algebra의 일반적인 정의가 저거라서..

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코오오오징

2021-09-26 03:14:51 답글

이제막 입문해서  잘 모름…

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막걸리

2021-09-26 02:30:35 답글

well-define하려고 그러는 것 같은데

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disciple153

2021-09-26 02:46:58 답글

*수정됨

실수 집합 R상에서 열린구간으로 된 보통위상만 생각해보면
(a) 모든 점이 내점인 R의 부분집합은 열린집합 (R은 열린집합이 됩니다)
(b) 열린구간들의 (무한개여도 상관없음) 임의의 합집합은 열린집합
(c) 열린 구간들의 유한개 교집합은 열린집합
입니다.

위 사진에서 공집합 빼고 보면 (편의상 X를 R로 보면)
(1) X는 열린집합 (a.에서 가져옴)
(3) 열린집합들의 임의의 합집합은 열린집합 (b)에서 가져옴.

R의 부분집합 S가 닫힌집합이려면 S^c:=R-S가 열린집합이어야 한다는 "닫힌집합 정의"에서 가져온 것 같습니다.
(2) A가 닫힌집합이면 A^c :=X-A 는 열린집합.
여기에서
(1) 공집합은 닫힌집합(a.와 닫힌집합의 정의에서 가져옴)
(3) 닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합
 - b.와 닫힌집합의 정의에서 가져옴.  열린집합들의 임의의 합집합의 여집합은 (해당 열린집합들의 여집합들의 임의의 교집합 곧) 닫힌집합들의 임의의 교집합과 같으니까.

올린 사진에서 보았을 때 X는 개집합과 폐집합들을 다 모아놓은 개념으로 보입니다.
 (개집합의 조건인 c에서) 유한개 교집합은 언급하지 아니하는데, (A_k들이 꼭 제각기 달라야 할 필요는 없어보이니) 유한개 합집합의 여집합은 유한개 교집합이 되니까 특별히 언급하지 아니한 것으로 봅니다.
(구조는 대강 그러하나 따지고 보면 개집합, 폐집합만이 아닌 다른 것도 들어갈 여지가 있습니다.)

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코오오오징

2021-09-26 03:10:16 답글

와….감사합니다

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disciple153

2021-09-26 03:18:19 답글

*수정됨

구조는 대강 그렇다고 보는데, 엄밀히 따지자면 "개집합 정의와 유사한것..." 폐집합도 개집합도 아닌게 들어갈 여지는 있습니다.  

(2)에서 A가 개집합이라 했을 때, 개집합의 여집합인 폐집합(X-A)도 M에 들어가는 것,

이에서 (3)에 따라 폐집합의 무한 합집합도 M에 들어가고,

이것의 여집합도 (2)에 따라 M에 들어가는데 곧 개집합의 무한 교집합까지 M에 들어가니까 말이지요. (개집합의 무한교집합은 일반적으로 개집합이 되지 않습니다.  (-1 < x < 1/n)구간들을 n에 대하여 무한교집합시키면 이것도 저것도 아닙니다.)

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ㅇㅇ (110.12)

2021-09-26 03:29:00 삭제 수정 답글

Lebesgue measure라는게 R^n의 모든 subset에 대해서 우리의 직관에 맞도록 정의할 수 없습니다 (Banach-Tarski paradox). 그렇기 때문에 Lebesgue measure, 혹은 일반적인 measure를 정의하려면 domain을 P(X)의 적당한 subset으로 정의해야하기 합니다. 
그러면 어떤 subset의 collection 위에서 정의할 지를 생각해 보려면 우리가 measure에 어떤 성질을 기대하는지를 생각해 봐야 합니다. empty set의 measure는 0이여야겠으니 emptyset은 domain에 들어가야겠고, A가 B의 subset이면 B-A의 measure는 B의 measure - A의 measure여야겠고, A, B가 disjoint하다면 A union B의 measure는 A의 measure + B의 measure여야겠지요. 
그러니까 measure의 domain은 empty set을 포함해야하고,  A가 B의 subset이면 B-A도 포함해야 하며 A, B가 disjoint하다면 A union B도 포함해야 할겁니다. 
책을 더 보시다 보면 여기서 언급한 것들로 일반적인 적분에 대한 이론이나 중요한 정리들을 다루는 데에 충분하지 않다는 사실을 아시게 될 겁니다. 그런 이것저것 필요한 것들 혹은 measure가 우리의 직관과 잘 들어맞도록 하기 위해 갖춰야 할 성질들이 있고, 그 때문에 measure의 domain이 만족해야 할 성질들이 있습니다. 
그래서 그런 성질들을 만족하는 P(X)의 subset에 우리가 이름을 붙이고 measure의 domain으로 활용을 하는거죠.

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코오오오징

2021-09-26 03:58:00 답글

와..상세한 설명 감사합니다 확 와닫네요

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hanyoo

2021-09-26 05:44:27 답글

와... 설명 잘하신다

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