문제:
이틀에 번개 1번 치는 곳
사흘에 번게 2번 칠 확률 구하시오
일단 문제 의도상 48시간에 1번 꼴로 친다고 말하는 듯함.
번개 치는건 미소시간마다 독립이라고 가정하고
E(t) : t시간 동안 번개 치는 횟수 기댓값이라 하면
기댓값은 선형성을 가진다.
따라서 E(48) = 1, E(t) = t/48
이제 충분히 작은 시간 간격을 생각해보자
시간간격이 작을 수록 그 사이에 번개가 두번 이상 확률은 한번 칠 확률에 비해 무시할 수 있을 정도로 작아진다고 직관적으로 생각할 수 있다.
따라서 아주 작은 시간 간격에서 번개치는 횟수의 기댓값은 대략 번개가 1번 칠 확률로 근사 할 수 있다.
(엄밀한건 잘 모르겠음..)
72시간을 n등분하자.
n이 충분히 크면 72/n 크기의 시간간격 마다 1/24×72/n (=1.5/n)
의 확률로 번개가 침
72시간 동안 번개 치는 횟수를 확률변수 X라고 두면
X는 시행횟수 n, 확률 1.5/n인 이항분포를 따름
X~b(n,1.5/n)
확률이 낮고 시행횟수가 많은 이항분포는 푸아송분포로 수렴함
결국 문제에서 요구하는 확률은 P(X=2) 이고 이걸 이항분포로 쓴뒤 n을 무한대로 보내주면 됨.
이걸
이걸 사용해보면
P(X=2) = (1.5)^2×(1/2!)×e^-1.5
= 9/8e^-1.5
대략 0.251 쯤이 답이 되는 것을 알 수 있다
