문제 해석을 나는 이렇게 했음

"어떤 지역에 2일에 걸친 관측 결과 번개가 두 번 쳤다. 그 다음 사흘에 번개가 두 번 칠 확률은?"


번개가 관측되는 것은 적당한 포아송 분포로 해석할 수 있고, 하루 평균 L번의 포아송 분포 X를 가정하자.

X의 사례 X1~X5에 대해 우리가 구할 확률은 P(X3+X4+X5=2|X1+X2=1)이다.

각 경우의 수는 (X1,X2,X3,X4,X5) = {(1,0),(0,1)}*{(2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1),(0,0,2)}의 12가지이다. 각 사례는 서로 독립이므로, 구하고자 하는 확률은 합의 법칙과 곱의 법칙에 의해

(P(X3=2)P(X4=0)P(X5=0)+P(X3=1)P(X4=1)P(X5=0)+P(X3=1)P(X4=0)P(X5=1)+P(X3=0)P(X4=2)P(X5=0)+P(X3=0)P(X4=1)P(X5=1) +P(X3=0)P(X4=0)P(X5=2)) 이다.

길고 귀찮은 식을 L에 대한 식으로 고치면 (9/2) e^(-3L) L^2가 된다.


포아송 분포 추정은 배운적 없는데 대충 생각하면 결과->분포의 추정이니까 X1+X2=1인 결과에서 L의 분포를 추정해서 L에 대한 전체 평균을 구하면 되지 않을까 했음.

(9/2) e^(-3L) L^2에 L에 대한 평균을 취해주면, L은 연속확률변수이므로 int 0 to INF (9/2) e^(-3x) x^2 P(L=x) dx가 됨.

X1,X2,L에 대한 확률식은 P(X1=1)P(X2=0)+P(X1=0)P(X2=1) = 2Le^(-2L)인데, 모든 L에 대해 확률이 0.5로 수렴하므로, P(L=x) = 4xe^(-2x)이다. (L이 어떤 특정 값을 가질 전체 확률 합이 1이어야 하므로 조건부 확률에 의해)

즉, 구하고자 하는 값은 int 0 to INF 18x^3 e^(-5x) dx = 0.1728정도가 됨.