문제는 https://arca.live/b/math/49939236
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한 변의 길이가 1인 정삼각형 ABC에서 두 사람 "막걸리"와 "소주"가 아래 규칙에 따라 삼각형을 만든다.
1) "막걸리"는 변 AB 위에 점을 하나 찍는다
2) "소주"는 변 AC 위에 점을 하나 찍는다
3) "막걸리"는 변 BC 위에 점을 하나 찍는다
이렇게 3개의 점을 찍고 나면 그 삼각형의 둘레가 나온다.
이때 두 사람은 각 점을 찍을 때 "막걸리"는 둘레가 최대가 되게, "소주"는 둘레가 최소가 되게 최대한 전략적으로 점을 찍을 것이다.
이렇게 하여 만들어진 삼각형 둘레의 최댓값은 얼마인가?(또는 최댓값이 얼마에 수렴하는가?)
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1) 의 점을 X, 2)의 점을 Y, 3)의 점을 Z 라 하자.
이제 다음의 순서로 증명한다.
(1-1) Z 점은 B 혹은 C 이다.
(1-2) Z점은 B, C 중 X, Y에서 더 먼 점이다. 즉 BX ≦ CY 일 때는 Z = C, BX ≧ CY 이면 Z = B 이다.
(2) Y는 AX = AY 인 점이다.
(3) X는 A 혹은 B 이다. 따라서 삼각형 둘레의 길이는 2이다.
증명을 시작하기 전에, 먼저 다음의 명제를 증명한다.
(아래 그림의 A, B, C 는 문제의 A, B, C와 관계없다.)
Lemma)
A, C, B 가 한 직선 위에 있고
G, F, C, D, E 가 한 직선 위에 있으며 C에서 볼 때 G와 F 가 같은 편에 있고 D와 E 가 같은 편에 있으며 CG > CF, CD < CE 일 때
AC + BC < AF + BF < AG + BG, AC + BC < AD + BD < AE + BE 가 성립한다.
증명)
ACB는 일직선상에 있으므로, AC + BC < AF + BF 와 AC + BC < AD + BD 는 당연히 성립한다.
증명 방식은 동일하므로 AD + BD < AE + BE 만 증명하도록 한다.
ADX = BDY 가 되도록 D를 지나는 직선 XY 를 긋고
A를 XY 에 대해 대칭이동한 점을 A' 이라고 한다. 또한 AE와 XY의 교점을 F 라 한다.
그러면 AD = A'D 이므로 AD + BD = A'D + BD = A'B 이므로 AD + BD 는 A'B 사이의 최단거리인 선분의 길이와 같다.
그리고 AE + BE = A'F + FE + BE > A'B 이므로, AE + BE > AD + BD 가 성립한다. (증명 끝)
(또다른 증명)
평면기하를 사용하지 않고, 삼각함수의 미분을 이용해서 증명할 수도 있다.
h1, h2, L 은 상수이고 θ2 는 θ1 의 변수이다.
파란색 선분 2개의 길이의 합을 T 라 하면
따라서 T는 θ1 < θ2 일 때는 θ1 에 대해 단조감소하고, θ1 > θ2 일 때는 단조증가하며, θ1 = θ2 에서 최소값을 갖는다. (증명 끝)
그러면 이제 문제를 풀어보도록 하자.
(1-1) Z 점은 B 혹은 C 이다.
X'은 X를 BC 에 대해 대칭이동시킨 점이다. 그러면 XZ = X'Z
위의 lemma 에 따라서 X'Z + YZ 는 B 혹은 C 에서 최대값을 갖는다.
삼각형 XYZ 의 둘레의 길이가 최대가 되게 하려면 XZ + YZ 가 최대가 되어야 하므로, Z는 B 혹은 C 이다.
(1-2) Z점은 B, C 중 X, Y에서 더 먼 점이다. 즉 BX ≦ CY 일 때는 Z = C, BX ≧ CY 이면 Z = B 이다.
BX+BY 와 CX+CY 의 길이를 비교하기 위해서 양변에 AX+AY 를 더한다.
그러면 양변은 각각 ABY 의 둘레의 길이과 ACX 의 둘레의 길이가 된다.
일반성을 잃지 않고, AX > AY 라 하자. AY = AY'인 AB 상의 점 Y'에 대해서, ABY 의 둘레의 길이는 ACY' 의 둘레의 길이와 같다.
그런데 CX + XY' > CY' 임은 자명하므로 ACX 의 둘레의 길이가 ACY' 의 둘레의 길이보다 길다.
즉 BX < CY 인 경우에는 BX + BY 보다 CX + CY 가 더 길다.
따라서 BX 보다 CY 가 긴 경우에는 Z = C 이고, BX가 CY보다 긴 경우에는 Z = B 가 된다.
(2) Y는 AX = AY 인 점이다.
AX ≧ AY 인 경우와 AX ≦ AY 인 경우로 나눠서 생각하기로 한다.
AX ≧ AY 인 경우
이 경우 Z = C 이므로, Y는 XY + CY 를 최소화하는 점으로 선택된다.
X'은 AC 상에 있으면서 AX = AX' 인 점이다.
XY + CY = XY + YX' + CX' 인데, Y가 X'이 아닌 경우 XY + YX' > XX' 인 것은 자명하므로 Y=X' 일 때 XYC 의 둘레의 길이가 최소가 된다.
AX ≦ AY 인 경우
B를 AC 에 대해 대칭시킨 점을 B' 이라 하고, AX = AX' = AX''인 점 X'과 X''을 각각 AC와 AB' 위에 잡는다.
BX'' 과 AC 의 교점을 W 라 하면, 각 AX''B < 60° 이므로 W는 선분 AX' 위에 있다.
따라서 lemma 에 의해서, Y 가 X' 과 다른 경우 BY + YX'' > BX' + X'X''
BX' + X'X'' = BX' + XX' 이므로 BY + YX'' > BX' + XX' 이다. 따라서 BY + XY 가 최소가 되는 Y는 X' 이다.
그러므로 AX ≧ AY 인 경우와 AX ≦ AY 인 경우 모두 Y는 X' 으로 선택된다.
(3) X는 A 혹은 B 이다. 따라서 삼각형 둘레의 길이는 2이다.
이제 Y는 AX=AY인 점이고 Z는 B와 C 중 임의로 선택된다고 할 때 삼각형 XYZ의 둘레의 길이가 최대가 되는 X를 선택한다.
AXY 는 정삼각형이므로 AX = XY 이다. 따라서 XYZ 의 둘레의 길이는 AB + BY 와 같다.
AB = 1 이고 BY 의 길이의 최대값은 1이다.
따라서 구하는 삼각형의 둘레의 길이는 2 이다.
