미적문제 헬프좀 - 수학 채널

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질문 미적문제 헬프좀

집배원 (121.151)

추천 0 비추천 0 댓글 11 조회수 361 작성일 2022-05-11 14:12:35

https://arca.live/b/math/50201514

친구 왈 출처는 아주대 논술 기출(몇년도인지 모름)

함수 f(x)가 실수 전체에서 f(2x)=2f(x)고 f'(0)=2일때 f(x) 찾기

대충 테일러 전개 써서 2x인거는 찾았는데 테일러 전개 안될때 케이스를 도저히 모르겠음

댓글 [11] 글쓰기

야스각이다

2022-05-11 14:37:13 답글

f가 실수 전체에서 미분 가능함?

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집배원 (121.151)

2022-05-11 14:50:16 삭제 수정 답글

문제에 안나와있음...

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야스각이다

2022-05-11 14:50:49 답글

에반데
일단 미분가능하다고 가정하고 한번 생각해봄
늦어서 내일 올수도

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야스각이다

2022-05-12 02:23:47 답글

*수정됨

실수 전체에서 미분 가능하다고 하고 주어진 조건식의 양변을 미분하면
2f'(2x)=2f'(x)에서 f'(2x)=f'(x) ... (ㄱ)

이때 f'(x)가 상수함수가 아니라고 하면, f'(k)=/=2인 실수 k=/=0이 존재함.

그러면 조건 (ㄱ)에 따라, 임의의 자연수 n에 대해 f'(k/2^n)=/=2가 성립함.

이제 임의의 실수 e을 생각하면, 아무리 작은 양의 실수 e를 잡더라도 항상, 0<k/2^n<e가 성립하도록 하는 n이 존재하고,

이에 따라 0 근방의 아무리 작은 열린 구간 (-e, e)를 잡더라도 항상 f'(t)=/=2가 되는 실수 t가 열린 구간 (-e, e)의 원소로 존재함.

따라서 함수 f가 미분가능하면, 다음 중 하나가 성립함.
1. f의 도함수는 상수함수 (f'(0)=2이므로 f(x)=2x)
2. f의 도함수는 상수함수가 아니고 0에서 불연속

인데 2번인 케이스 중에 f(2x)=2f(x)를 만족하는게 존재하는지 아닌지를 모르겠음

그래도 수리논술이면 고등학생들 풀라고 낸 문제인데 저런 해괴망측한 사례는 없지 않을까?

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집배원 (121.151)

2022-05-12 08:37:54 삭제 수정 답글

f(2x)=2f(x)라는 조건에서 정의역이 실수전체고 임의의 실수 k에 대해 f(k)=f(2k)/2 니까 불연속인 경우는 없다고 해도 되려나

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야스각이다

2022-05-12 08:39:05 답글

f는 미분가능(따라서 연속)이고 불연속인건 f의 도함수인거라 그런식으로 거를 수 있을거 같진 않음
근데 f(x)=2x말고 다른 케이스를 도저히 못찾겠음

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ㅇㅇ

2022-05-12 08:52:34 답글

g(x)=f(x)-2x로 두면 g'(0)=0, g(2x)=2g(x)
여기서 g(0)=0이 확인됨

만약 g(x)≠0이라면 g(a)=b≠0으로 가정함(a≠0)
어떤 (-δ, δ)에 대해서도 충분히 작은 p=2^(-n)를 곱해 pa∈(-δ,δ )를 만족시킬 수 있는데 g(pa)/pa=b/a가 확인되므로 g'(0)=0에 모순

따라서 g≡0이고 f≡2x

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야스각이다

2022-05-12 09:12:42 답글

족고수 ㄷㄷㄷ

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집배원 (121.151)

2022-05-12 09:44:13 삭제 수정 답글

헐

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리간드

2022-05-14 11:07:45 답글

쓰바 ㄷㄷ

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7isbiggerthan5

2022-05-14 22:09:01 답글

대박 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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