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간단한 문제 이런게 간단한 문제지

시스티나

추천 0 비추천 0 댓글 18 조회수 738 작성일 2022-06-10 00:26:02

https://arca.live/b/math/52106016

△ABC에 대해, x = ∠A, y = ∠B, z = ∠C라고 하자.

cos² x + cos² y + cos² z의 최대와 최소를 잘 구해 봐라.

댓글 [18] 글쓰기

야스각이다

2022-06-10 01:05:19 답글

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

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ㅇㅇ

2022-06-10 02:31:53 답글

직관적으로 최소는 정삼각형의 3/4일것 같긴 한데 최대는 없지않음? 한 각이 180도로 가는 삼각형의 극한에서 3을 얻을수 있지만 삼각형이 아니게 되니까
엄밀하게 증명한게 아니고 뇌내에서 코사인 그래프랑 삼각형 그리면서 생각한거라 맞는지 모르겠다

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ㅇㅇ (211.220)

2022-06-10 03:13:49 삭제 수정 답글

일단  2(cos^2 x)= 1+cos 2x 니까

2(cos 제곱합)=3+(두배각 코사인합)
→결론적으로 세각합 2pi일때 코사인합 최대최소랑 동일

이래 했는데 최소 0.75 최대 3(?) 인것 같음

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ㅇㅇ (121.136)

2022-06-10 04:07:35 삭제 수정 답글

몬가 논증기하적 방법이 있을 것 같은데.... 
생각이 안 나서 그냥 치트키 써야겠음...


0 < x,y,z < pi , z = pi - x+y 에서 0 < x+y < pi
(x,y)의 영역은 원점과 (0,pi)와 (pi,0)의 세 점을 잇는 직각이등변삼각형의 내부. 이것을 D라고 두자.

한편 (준식) = (Cos(x))^2+(Cos(y))^2+(Cos(x+y))^2 = f(x,y) 라 두자.
f는 R^2 전체에서 연속이므로 f의 Dbar에서의 최대 최소는 D의 경계 혹은 내부에 존재한다.
한편 f는 R^2 전체에서 연속인 편도함수를 가지므로, 내부극값정리에 의해 극값이 D에 존재한다면 그 점은 f_x=f_y=0을 만족함.

(귀류법) f가 D에서 최대최소를 가진다고 가정하자. 따라서 f_x=f_y=0
sin2(x+y)=-2sin2x=-2sin2y 인 D의 점 (x,y)이 존재함
따라서 sin2x=sin2y을 얻는다.

이 때 0 < 2x , 2y < 2pi 이며 2x+2y < 2pi임을 생각하면 2x >= pi 일 수 없다. 
왜냐하면 0 < 2x, 2y < 2pi을 생각했을 때 (귀류법) 2x >= pi라면  0 >= sin2x = sin2y 이므로,  2y >= pi 을 얻지만
2x+ 2y >= 2pi가 되므로 2x + 2y < 2pi에 모순됨.
이제 같은식으로 2y에 대해서도 생각하여 0 < 2x, 2y < pi 을 얻는다.

이제 sin2x = sin2y였으므로 2x=2y or 2x= pi-2y 을 얻는데,
(귀류법) 만약 2x=pi-2y라면 x+y=pi/2이므로 sin2(pi/2)=0=-2sin2x=-2sin2y
따라서 sin2x=sin2y=0인데 0<2x, 2y<pi 였으므로 이를 만족하는 x, y 는 비존재.

따라서 2x=2y, 즉 x=y이다.
식을 정리하여 sin4x=-2sin2x, 즉 2sin2xcos2x=-2sin2x 에서 2sin2x(1+cos2x)=0을 얻는다.
하지만 0 < 2x < pi 에서 sin2x≠0이고 1+cos2x≠0 이므로 모순.

모든 경우에서 모순임을 보였으므로 최초 가정이 잘못되었다.
따라서 f는 D에서 최대 최소를 가지지 않는다.
(Dbar에서 따져보면 최소값은 x=pi/2 or y=pi/2인 Dbar의 점 (x,y)에서 1, 
최댓값은 Dbar의 세 꼭짓점에서 3을 갖음)

계산 실수 없겠지??

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ㅇㅇ

2022-06-10 05:58:10 답글

Dbar는 compact하고 f가 연속이라 최대최소가 존재해야하는데
D의 경계에서는 값이 1 이상이고
정삼각형인 경우가 3/4이므로
최솟값은 D의 경계가 아닌 내부에서 3/4 이하의 값으로 존재해야함

위의 풀이는 어디에선가 오류가 있어보임

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ㅇㅇ (121.136)

2022-06-10 06:27:20 삭제 수정 답글

헐 맞네 편미분 실수했다
sin2(x+y)=-2sin2x=-2sin2y가 아니라
sin2(x+y)=-sin2x=-sin2y임

근데 다행히 이렇게 변해도 변하는건 
맨 처음에 귀류법 쓴 부분과
가장 마지막 x=y인 경우밖에 없네

sin4x=-sin2x를 변형시켜 위의 논의에 의해
2cos2x+1=0을 얻고
0 < 2x < pi에 의해 2x=2pi/3
따라서 D에는 x=pi/3 = y인 점밖에 극값이 없음
여기서의 함수값은 30 60 90 직각삼각형의 경우보다 작으므로 극댓값이 아니라 극솟값이다.

따라서 f는 D 내부에서 최솟값 3/4만을 갖고 최댓값은 가지지 않는다.

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ㅇㅇ

2022-06-10 06:30:47 답글

야스각이다

2022-06-10 07:28:52 답글

근데 이거 D에서 극값을 가진다고 가정해서 f_x=f_y=0을 전제로 하고 진행한 논증인데
모순을 이끌어내는게 아니라 D 내부에서 극값이 존재한다는게 결론으로 나와버리면 순환논증 아님?

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야스각이다

2022-06-10 07:30:40 답글

아니면 위의 'Dbar는 콤팩트~' 부분으로 D 내부에 극값을 갖는다는게 보충되니까 괜찮은건가

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시스티나

2022-06-10 04:11:04 답글

Cobordism

2022-06-10 06:48:36 답글

*수정됨

일단 최소일 때는 수족 삼각형과 원래 삼각형 사이의 넓이 비가 최대인거 생각하면 될 듯? 수심이 외심하고 같을 때니까 정삼각형. 이런식으로 생각하는건 최대일 때가 문제긴 한디;;

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ㅇㅇ (154.27)

2022-06-10 07:42:08 삭제 수정 답글

*수정됨

cos² x + cos² y + cos² z = 3 - (sin² x + sin² y + sin² z) 이므로 (sin² x + sin² y + sin² z) 의 최대와 최소를 구하면 된다.
삼각형 ABC 가 외접원의 반지름이 1/2 인 삼각형일 때
BC = sin x, CA = sin y, AB = sin z 이므로 AB² + BC² + CA² 의 최대와 최소를 구하면 된다.
ABC를 외접원 한쪽 구석에 얼마든지 작게 만들 수 있으므로, 최소값(정확히는 "하한")은 자명하게 0이다. 최대값을 구해보자.

이제 AB를 고정시켜놓고 BC² + CA² 가 최대가 되는 C를 결정한다.
어떤 상수 t > 0 에 대해서 BX² + XA² = t 를 만족하는 X의 궤적은 AB의 중점을 중심으로 하는 원이다.
(A = (-α, 0), B = (α, 0), X = (v, w) 로 놓으면 (v + α)² + w² + (v - α)² + w² = t 로부터 쉽게 유도할 수 있다.)

따라서 BC² + CA² 가 최대가 되는 C는 외접원 위의 점들 중 AB의 중심에서 거리가 가장 먼 점이다.
이는 AC=BC 인 두 점들 중 O와 같은 방향에 있는 점임을 쉽게 보일 수 있다. 즉 BC² + CA² 가 최대일 때 AC=BC 가 된다.
마찬가지로 AB=BC, CA=CB 가 되어야 하므로 AB² + BC² + CA² 의 최대인 경우는 AB = BC = CA 인 정삼각형인 경우이며
이 때 AB² + BC² + CA² = 9/4

그러므로 cos² x + cos² y + cos² z 의 최대값(정확히는 "상한")은 3, 최소값은 3/4 이다.

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ㅇㅇ

2022-06-10 08:28:45 답글

AB를 고정하고 C가 어디 있을 때 최대인지 찾는건 좋은데
그 이후에 세 꼭지점이 동시에 움직일 때로 바로 넘어가는건 약간의 비약이 있음

한 점의 위치를 위의 것처럼 바꾸고 다른 점의 위치를 바꾸고 또 다른 점의 위치를 바꾸면서 무한히 시행해도 그게 정삼각형에 도달하지 못할 수 있음

각도로 얘기하면 만약 마지막 시행(2번째 이상)에서 정삼각형이 나오려면 그 이전 시행에서 60°인 각이 하나 있었어야함, 그런데 그 60°가 이등변삼각형의 한 각이었으므로 이미 정삼각형이었어야함)

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ㅇㅇ (154.27)

2022-06-10 08:38:10 삭제 수정 답글

그 부분은 A, B, C 를 움직여가면서 최대값을 찾는 게 아니라, 정삼각형이 아니면 최대값이 될 수 없다는 것을 보인 부분임. 그런데 최대값이 존재하는지에 대해 의문이 제기될 수 있겠네.

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ㅇㅇ (154.27)

2022-06-10 09:26:09 삭제 수정 답글

*수정됨

그러면 A, B, C가 모두 외접원상에 있고 AC=BC 인 이등변삼각형 중에서 정삼각형이 AB² + BC² + CA² 이 최대라는 걸 보이는 게 더 명료하겠네. 이건 삼각함수로 직접 대입해서 2차식 형태로 만드는 게 제일 쉽고 빠르겠지만, C가 AB의 중심에서 거리가 가장 먼 점인 것을 보인 김에 변의 중점에서의 거리를 한 번 더 사용하지 뭐.

반지름 1/2인 외접원 위에 있고 AC=BC 인 (정삼각형이 아닌) 이등변 삼각형 ABC에 대해서, X와 Y를 다음과 같이 정의한다- X와 Y는 동일한 외접원 위에 있고, 삼각형 XYC 는 정삼각형이며, X은 B보다 A에 가깝고 Y은 A보다 B에 가깝다. (물론 XY와 AB는 평행이다.)
이등변삼각형의 빗변 BC 의 중점을 M 이라 하자. 이제 XM 은 항상 AM 보다 길다는 것을 증명한다.
이는 AB² + CA² < XB² + BC² 임을 의미하므로
변의 길이의 제곱의 합은 삼각형 XBC 이 삼각형 ABC 보다 크다는 것을 증명한 것이 된다.
변의 길이의 제곱의 합이 삼각형 XYC 가 삼각형 XBC 보다 크다는 것은 YX=YC 임을 이용해서 보일 수 있으므로, 정삼각형일 때 AB² + BC² + CA² 이 최대임이 증명된다.

XM 이 항상 AM 보다 길다는 것은 현의 중심각을 이용해서 증명한다.
COM = 90° - C/2, COA = 180° - C 이므로, AOM = 270° - (3/2)C
COX = 120° 이므로, XOM = 210° - C/2
다시 정리하면
AOM = 180° + 3 (30° - C/2)
XOM = 180° + (30 - C/2)
즉 현의 중심각은 항상 XM 이 AM 보다 180° 에 가깝다. 따라서 XM > AM

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ㅇㅇ (154.27)

2022-06-10 09:36:43 삭제 수정 답글

참고로 삼각함수로 직접 대입해서 2차식 형태로 만든다는 건
A, B, C 가 반지름 1/2 인 외접원 위에 있고 AC=BC 인 이등변삼각형일 때, θ = C/2 라고 하면
AC = BC = cos θ
AB = 2 AC sin θ = 2 sin θ cos θ
AB² + BC² + CA² = 2 cos² θ + 4 sin² θ cos² θ  =  2 cos² θ + 4 (1 - cos² θ) cos² θ  =  6 cos² θ - 4 cos⁴ θ  =  -4 (cos² θ - 3/4)² + 9/4
그래서 cos θ = √3 / 2, 즉 θ = 30°  그러니까 C = 60°  일 때 최대값 9/4 를 갖는다는 말임.

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