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12. 4자리 소수 abcd가 있다. (a, b, c, d는 각 자릿수이다.) 이 때 ax³+bx²+cx+d=0은 정수해를 갖지 않음을 증명하라. - 도쿄대 실전모의고사


네자리 소수를 p로 두고 정수해 x가 있다고 가정하자
p=1000a+100b+10c+d - (ax³+bx²+cx+d)
는 10-x를 약수로 가진다
여기서 10-x는 ±1, ±p가 가능한데
x>0이라면 ax³+bx²+cx+d>0이므로 이 경우를 제외하면 10-x=p인 경우만 남는다

-x=p-10은 990보다 크고 10000보다 작다
-ax³≥-x³>970299000,
bx²+cx+d≤9x²+9<900000009
그러므로 이 x는 정수해가 될 수 없다

결국 정수해를 가지지 못한다