원글 : https://arca.live/b/math/51565638?p=1


웹디 기능사 하려는 새끼가 접기 펼치기를 까먹고 있었네 ㅎㅎ... 감사.

너무 당연하거나 레벨이 높아서 내가 못 푸는 문제는 풀이과정에서 제외하겠음.


8. n의 양의 약수 총합이 2016인 2016의 양의 약수 n을 구하여라. - 연도 미상, 나고야대 문과

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저거 2016년 출제된 문제는 맞는 것 같음. 풀이과정은 그거랑 큰 상관이 없지만.

2016=2⁵×3²×7임을 이용하면 약수들을 전부 구할 수 있고, 그걸로 쉽게 풀이가 가능함. 약수는 2ˣ×3ʸ×7ᶻ 꼴인데, 따라서 이 약수들의 합은, 약수들의 합 함수를 τ(n)으로 둘 시 τ(2ˣ)×τ(3ʸ)×τ(7ᶻ)로 표현이 가능함. 약간의 직관으로 x=5(τ(32)=63이니까))임과 y=x=1임을 알 수 있음.

672의 양의 약수의 합은 2016, n=672겠네.

답 : 672



11. G={ m+n√2 | m+n√2＞0, m²-2n²=1, m, n∈ℤ }라고 하자. 1보다 큰 G의 원소 중 가장 작은 수를 u라고 하면, G={ uⁿ | n∈ℤ }임을 보여라. - 1985 도쿄공대

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우선 간단한 계산 하에서 쉽게 알 수 있는 사실로 G는 곱셈에 대해서 닫혀 있겠지. a, b가 G의 원소라면 ab도 G의 원소라는 것. 그리고 분모의 유리화를 이용하면 a가 G의 원소임은 1/a가 G의 원소임과 동치임을 알 수 있다. 이로서 uⁿ은 항상 G의 원소이다!
이제 만약 g∈G가 uⁿ 꼴이 아니라고 하면, g=auⁿ인 정수 n과 1＜a＜u가 존재할 것.(이건 log(g), log(u) 가지고 Division algorithm 돌리면 나오는 사실이다.) 그런데 1보다 큰 G의 원소 중 가장 작은 수를 u라고 했으니까 이건 모순이다. 끝!



13. 삼각형 ABC에 대해서 tanA, tanB, tanC가 모두 정수라고 하자. tanA, tanB, tanC의 값을 구하라. - 1984 히토츠바시대

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일반성을 잃지 않고 A≤B≤C라고 둘 수 있다. 만약 tanA≠1이라면, tanA는 2 이상의 자연수 혹은 음의 정수를 값으로 가져야만 하는데, tan(π/3)<2. 따라서 A＞π/3이 되어, ABC는 삼각형을 구성하지 못한다.
그러니까 당연히 tanA=1. tan(B+C)=-1이 되므로, tanB=m, tanC=n으로 두면 -1=(m+n)/(1-mn).
mn-1=m+n이므로, (m-1)(n-1)=2가 성립한다. m<0이 되면 n<0이 되어, 한 삼각형 내에 둔각이 두 개가 생기므로 모순이 되어버림. 그러니까 m-1, n-1은 둘 다 자연수여야겠지. m=2, n=3이 될 수 밖에 없
답 : (tanA, tanB, tanC)=(1, 2, 3)



19. 2 이상의 자연수 n와 삼각형 ABC에 대해 ∠C=n∠B일 시, c＜nb임을 구하여라. - 2020 오사카대 이과

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∠B=x로 두면 bsin(nx)=csinx. 또한 s, t≠2nπ이 된다면 sin(s+t)=sins·cost+sint·cosx＜sins+sint. 수학적 귀납법을 이용해서 sin(nx)＜nsinx를 보일 수가 있고, 따라서 c=b·sin(nx)/sinx＜nb.





나머지 문제들은 내 머리가 지진날 것 같거나 엘레강스한 풀이방법이 생각이 안 나서 못 풀겠다. 혹시 아는 사람?

특히 12번은 더 그러네. 정수해가 많아야 2개라는 것까지는 도출해 냈지만...