문제는 여기: https://arca.live/b/math/51565638

지금까지 나온 풀이 글들은 여기:

https://arca.live/b/math/51766932

https://arca.live/b/math/52159587

https://arca.live/b/math/52167015

2. Re(1+i/n)ⁿ=a(n), Im(1+i/n)ⁿ=b(n)이라고 하자. lim[n→∞]a(n)과 lim[n→∞]b(n)을 구하라. - 2018 와세다대 교육학부

tan θ(n) = 1/n, 즉 θ(n) = arctan(1/n) 이라 하자.

1 + i/n = √(1 + 1/n^2) (cos θ + i sin θ)

z(n) = (1 + i/n)^n = (1 + 1/n^2)^(n/2) (cos nθ + i sin nθ)

lim[n→∞] z(n) =  lim[n→∞] (1 + 1/n^2)^(n/2) (cos nθ + i sin nθ)

이제  lim[n→∞] z(n) 의 절대값과 편각을 구한다.

lim[n→∞] (1 + 1/n^2)^(n/2) = lim[n→∞] ((1 + 1/n^2)^(n^2))^(2/n) = lim[n→∞] e^(2/n) = 1

lim[n→∞] n θ = lim[n→∞] n arctan(1/n) =  lim[x→0+] arctan(x) / x    (⇐  x = 1/n 으로 치환)

= arctan(x) 의 x = 0 에서의 미분값 = 1    (⇐  x = f(y) 일 때 dy/dx = 1/f'(y) 를 이용해서 계산)

따라서 lim[n→∞] z(n) = cos 1 + i sin 1

lim[n→∞] a(n) = cos 1

lim[n→∞] b(n) = sin 1

7. 최고차항의 계수가 1인 2차함수 f(x)이 다음 식을 만족시킨다고 하면, f(x)=0이 서로 다른 두 근을 가지고, 적어도 둘 중 하나의 근은 0과 1 사이에 있음을 보여라. - 연도 미상, 히로시마대

f(x) = x^2 + bx + c 라 하자.

(좌변) = ∫[0 to 1] (x^3 + b x^2 + cx) dx = 1/4 + b/3 + c/2

(우변) = ∫[0 to 1] (x^4 + b x^3 + cx^2) dx = 1/5 + b/4 + c/3 

1/20 + b/12 + c/6 = 0

c = (-1/2)b - 3/10

f(x) = x^2 + bx + (-1/2)b - 3/10

f(1/2) = 1/4 - 3/10 = -1/20 < 0 이다. 즉 f(x)의 최고차항은 양수이고 f(x) < 0 인 x가 존재하므로 f(x) 는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

f(0) = (-1/2)b - 3/10

f(1) = (1/2)b + 7/10 = -f(0) + 4/10 이므로 f(0) ≦ 0 이면 f(1) > 0  이다.

따라서 f(0) > 0 or f(1) > 0 이므로, f(x) = 0 은 (0, 1/2) 와 (1/2, 1) 중 적어도 하나의 구간에 근을 갖는다.

14. 실수 a, b에 대하여 4차방정식 x⁴+4ax³+2(2b-1)x²+4ax+1=0이 모두 복소평면에서 원점과 같은 거리 위에 있다고 하자. 이를 만족시키기 위한 실수 a, b의 조건을 구하고 ab 평면 위에 도시하여라. - 2019 칸사이 의대 후기

f(x) = x^4 + 4a x^3 + 2(2b - 1)x^2 + 4ax + 1

f(x) = 0 의 네 근을 z1, z2, z3, z4 라 하면, z1 z2 z3 z4 = 1

네 근은 원점에서의 거리가 모두 같으므로, |z1| = |z2| = |z3| = |z4| = 1

이제 복소수 z의 켤레복소수(conjugate) 를 z* 로 나타내기로 한다. (보통은 bar 를 사용하지만 bar는 입력하기가 힘들기 때문)

f(z) = 0 이면 f(z*) = 0 이므로 z 가 f(x) = 0 의 근이면 z* 역시 f(x) = 0 의 근이다.

모든 근의 절대값이 1이므로 가능한 실근은 1과 -1 뿐이다. 그리고 실수는 스스로의 켤레복소수이므로 (x + 1)^2 나 (x - 1)^2 은  (x - z)(x - z*) 의 형태로 간주할 수 있다.

따라서 f(x) 는 (x - z1)(x - z1*)(x - z2)(x - z2*) 의 형태이거나 (x - z)(x - z*)(x - 1)(x + 1) 의 형태이다.

그런데  (x - z)(x - z*)(x - 1)(x + 1) 의 형태인 경우에는 네 근의 곱 z z* 1 (-1) = -1  이므로  z1 z2 z3 z4 = 1 에 어긋난다.

따라서 f(x) =  (x - z1)(x - z1*)(x - z2)(x - z2*) 

(x - z)(x - z*) = x - 2 Re(z) + 1 이므로

f(x) = (x^2 + 2αx + 1)(x^2 + 2βx + 1)  (-1 ≦  α, β  ≦ 1)

a = (α + β)/2

b = αβ + 1

모든 (a, b)값과 그에 해당되는 (α, β) 값에 대해서, (-α, -β) 역시 (-1 ≦  α, β  ≦ 1) 인 범위에 포함되므로,

(a, b)가 문제의 조건을 만족한다면 (-a, b) 역시 문제의 조건을 만족한다.

따라서 a, b의 그래프는 b 축에 대해 좌우대칭이므로 a ≧ 0 인 경우, 즉 0 ≦ a ≦ 1 인 경우만 고려하면 된다.

α = 2a - β,  -1 ≦  β  ≦  1 에서  2a - 1 ≦  α  ≦  2a + 1  이므로, max(-1, 2a - 1) ≦  α  ≦  min(1, 2a + 1)

그런데 a  ≧ 0 이므로 2a - 1 > -1,  2a + 1 > 1

따라서 2a - 1 ≦  α  ≦ 1

b = αβ + 1 =  α (2a - α) + 1 = -(α - a)^2 + a^2 + 1

그러므로 b는 α = a 일 때 최대값  a^2 + 1,   α = 2a - 1 or 1 일 때 최소값 2a 를 갖는다.

즉 (a, b)를 ab 평면 위에 도시한 형태는 a > 0 에서 b = 2a  와 b =  a^2 + 1 사이의 구간이 된다.

a, b의 그래프는 b 축에 대해 좌우대칭이므로, 전체 형태는 -1 ≦ a ≦ 1 에서 b = |2a| 와 b =  a^2 + 1 사이의 구간이 된다.

(그림은 생략. )

15. 양의 실수 a, b에 대하여, (1ᵃ+2ᵃ+...+nᵃ)²=1ᵇ+2ᵇ+...+nᵇ가 임의의 정수 n에 대해 성립한다고 할 때 a, b를 구하여라. - 2009 류큐대

원글의 카페인쿠키님의 댓글과 같이 n→∞ 에서 n의 차수가 같아야 한다는 점을 이용하고 양변을 (n/t)^b 로 나눠서 적분을 이용하면 제일 깔끔하게 풀리는 것 같다.

내가 푼 방법은 다르다.

f(k, n) = (1^k + 2^k + ... + n^k) 로 나타내면

f(a, n)^2 = f(a, n-1)^2 + 2 (n^a) f(a, n-1) + n^2a

f(b, n) = f(b, n-1) + n^b

f(a, n-1)^2 = f(b, n-1),  f(a, n)^2 = f(b, n) 에서

2 (n^a) f(a, n-1) + n^2a = n^b

양변을 n^a 로 나누면  2 f(a, n-1) + n^a = n^(b-a)

c = b - a 라 하면  2 f(a, n-1) + n^a = n^c ,  따라서 2 f(a, n) = n^c + n^a

위 식에 n+1 을 대입하고 위 식과의 차이를 구하면

2 f(a, n+1) = (n+1)^c + (n+1)^a

2 (n+1)^a = (n+1)^c + (n+1)^a - n^c - n^a

(n+1)^a + n^c + n^a = (n+1)^c

이제 A2 = 2^a,  A3 = 3^a,  C2 = 2^c,  C3 = 3^c  라 하자.

(n+1)^a + n^c + n^a = (n+1)^c  에 n = 2를 대입하면

A3 + C2 + A2 = C3   이므로   A2 + C2 = C3 - A3

(n+1)^a + n^c + n^a = (n+1)^c  에 n = 3을 대입하면

A2^2 + C3 + A3 = C2^2   이므로   C3 + A3 = C2^2 - A2^2

(n+1)^a + n^c + n^a = (n+1)^c  에 n = 8을 대입하면

A3^2 + C2^3 + A2^3 = C3^2

A2^3 + C2^3 = C3^2 - A3^2

(A2 + C2) (A2^2 - A2 C2 + C2^2) = (C3 - A3) (C3 + A3)

A2^2 - A2 C2 + C2^2 = C3 + A3 = C2^2 - A2^2

2A2^2 - A2C2 = 0

C2 = 2A2

2^c = 2 2^a, 따라서 c = a + 1

A2 + C2 = C3 - A3 에서  2^a + 2^(a+1) = 3^(a+1) - 3^a,  양 변을 정리하면  3 2^a = 2 3^a, 즉 (2/3)^a = 2/3  이므로 a = 1

c = a + 1 = 2,  b = c + 1 = 3

따라서 a = 1, b = 3 이 유일한 답이다.