내가 아는 문제만 풀 거임. 모르는 문제 풀기에는 내 힘이 딸린다.
자기 직전에 간략하게 네 문제 풀어 올림. 현충일에 이어서 좀 올려 볼게.
원글 : https://arca.live/b/math/51565638?p=1
1. (2×3×5×7×11×13)¹⁰이 10진법으로 몇 자리 수인지를 구하여라. 단, 로그의 값은 주어져 있지 않다. - 2014 히토츠바시대
30000＜2×3×5×7×11×13=30030＜10000√10이기 때문에, 양 변에 10제곱을 취해 주면 다음 식이 성립함.
5.9049×10⁴⁴=3¹⁰×10⁴⁰=30000¹⁰＜30030¹⁰＜(10000√10)¹⁰=10⁴⁵. 그러니까 10진법으로는 45자리겠지.
답 : 45자리
3. 다음 방정식을 풀어라. - 2014 AIME I
양변에 4를 더해 주면, x(1/(x-3)+1/(x-5)+1/(x-17)+1/(x-19))=x²-11x이 성립함. 따라서 근 하나는 0이 되고, 양 변을 x로 나눠주면 0이 아닌 근들이 얻어지겠지.
1/(x-3)+1/(x-5)+1/(x-17)+1/(x-19)=x-11임. 이제 x-11=a로 치환하면 식은 이렇게 바뀌고, a=0. 곧 x=11이 두 번째 근으로 나옴.
a=1/(a+8)+1/(a-8)+1/(a-6)+1/(a+6)=2a(1/(a²-64)+1/(a²-36))
이제 양 변을 다시 a로 나누고 a²=b로 두자. 그러면 식은 b²-100b+2304=(b-64)(b-36)=2((b-64)+(b-36))=2b-200.
b²-102b+2504=0의 근은 b=51±√97이 나오고, 이걸 잘 만져 주면 x로 되돌릴 수 있음. 당연히 두 근 모두 0보다 크니까 허근 염려는 안 해도 되고.
답 : x=0, 11, 11+√(51±√97), 11-√(51±√97)
5. 0＜x, y＜1인 실수 x, y에 대해서, 다음 연립방정식을 풀어라. - 연도 미상, 시바우라 공대
log_x(y)=p로 두면, p＞0이고, 위 식이 p+1/p=2가 됨. 이러한 실수 p는 1로 유일하고, 얻어지는 결과는 x=y임.
따라서 밑의 식을 그렇게 두고 풀어 보면 sin²2x=sinxcosx. sin2x=0, ½이겠지. 따라서 x의 후보군은 ½nπ, nπ+π/12, nπ+5π/12뿐임. 이 수들 중 문제에서 주어진 범위를 만족시키는 답은 유일함.
답 : (x, y)=(π/12, π/12)
6. 2 이상의 정수 n에 대하여, P(n)을 2개의 주사위를 동시에 던져 나온 수의 곱이 n의 배수+1 꼴이 될 확률이라고 하자. P(n)=1/18이 되는 n을 모두 구하여라. - 2019 고베대 이과
주사위를 던져 나오는 두 수를 a, b라고 두자. a=b=1일 때는 항상 ab≡1 (mod n)이 성립하니까, 둘 다 1이 아니면서 ab≡1 (mod n)을 만족시키는 거 한 세트만 더 찾으면 됨. 근데 놀랍게도 a≠b일 때는 (1, 1), (a, b), (b, a)로 3개가 나와 버리니까, (a, a)꼴만 보면 됨.
(2, 2)일 때는 n=3이어야 하는데, P(n)＞1/18(∵(2, 5)...)
(3, 3)일 때는 n | 8이어야 하는데, P(n)＞1/18(∵(5, 5)...)
(4, 4)일 때는 n | 15이어야 하고, P(n)=1/18인 n은 15뿐임.
(5, 5)일 때는 n | 24이어야 하고, P(n)=1/18인 n은 12, 24.
(6, 6)일 때는 n | 35이어야 하고, P(n)=1/18인 n은 35뿐임.
답 : n=12, 15, 24, 35
