선형대수학 벡터공간 판정 문제입니다

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질문 선형대수학 벡터공간 판정 문제입니다

권보아

추천 1 비추천 0 댓글 13 조회수 323 작성일 2022-06-05 13:16:46

https://arca.live/b/math/51814218

14번의 정답은 V는 R-벡터공간이다 이고

15번의 정답은 V는 C-벡터공간이 아니다 입니다.

제가 문제에서 어떤부분을 잘못 이해한 것 같습니다. 정답에 대해 설명해주시기를 부탁드립니다.

댓글 [13] 글쓰기

블랙라바

2022-06-05 13:18:46 답글

예제 1의 합과 곱의 정의가 pointwise가 아닐 수 있음. 잘 확인해봐. 알고 있는 그 정의가 맞아?

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권보아

2022-06-05 13:52:16 답글

예제1 체 F에서 성분을 가져온 모든 n순서쌍의 집합을 F^n이라 표기한다. u=(a1,a2,...,an)∈F^n, v=(b1,b2,...,bn)∈F^n, c∈F일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 F-벡터공간이다.
u+v=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn),
cu=(ca1,ca2,...,can)
따라서 R^3은 R-벡터공간이다. 예를 들어 R^3에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(3,-2,0)+(-1,1,4)=(2,-1,4), -5(1,-2,0)=(-5,10,0)
같은 방식으로 C^2는 C-벡터공간이다. 예를 들어 C^2에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(1+i,2)+(2-3i,4i)=(3-2i,2+4i), i(1+i,2)=(-1+i,2i)

이렇게 되어 있습니다.

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Enigma

2022-06-05 13:28:18 답글

예제 1의 정의가 정확히 뭐라고 써있는지도 올려줘

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권보아

2022-06-05 13:52:30 답글

예제1 체 F에서 성분을 가져온 모든 n순서쌍의 집합을 F^n이라 표기한다. u=(a1,a2,...,an)∈F^n, v=(b1,b2,...,bn)∈F^n, c∈F일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 F-벡터공간이다.
u+v=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn),
cu=(ca1,ca2,...,can)
따라서 R^3은 R-벡터공간이다. 예를 들어 R^3에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(3,-2,0)+(-1,1,4)=(2,-1,4), -5(1,-2,0)=(-5,10,0)
같은 방식으로 C^2는 C-벡터공간이다. 예를 들어 C^2에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(1+i,2)+(2-3i,4i)=(3-2i,2+4i), i(1+i,2)=(-1+i,2i)

이렇게 되어 있습니다.

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권보아

2022-06-05 14:14:47 답글

*수정됨

14번 문제에서는 벡터공간 V^n의 각 성분을 복소수 집합 C에서 가져와서 정의대로 벡터의 합과 스칼라 곱을 구하면 u+v∈C^n, cu∈C^n이 됩니다. 그래서 V가 C-벡터공간이 되지만 cu∈C^R의 경우에서와 같이 실수와 복소수를 곱하면 항상 실수가 되지는 않으므로 V는 R-벡터공간이 아니라고 답을 내었습니다.

15번 문제에서는 벡터공간 V^n의 각 성분을 실수 집합 R에서 가져와서 정의대로 벡터의 합과 스칼라 곱을 구하면 u+v∈R^n, cu∈R^n이 됩니다. 그래서 V가 R-벡터공간이 되고 이때는 R⊂C이므로  V는 C-벡터공간이라고 답을 내었습니다.

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ㅇㅇ

2022-06-05 14:23:40 답글

R-벡터공간과 C-벡터공간의 관계를 반대로 알고있네

어떤 조건 P가 모든 복소수 c에 대해 참이라면 그 조건 P는 모든 실수 c에 대해 참이 됨
이걸 벡터공간의 정의에 넣어보면 C-벡터공간은 그대로 R-벡터공간의 정의를 만족함

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권보아

2022-06-05 14:34:13 답글

*수정됨

감사합니다. 예제1에 있는 것으로 예를 들어서 질문을 좀더 드리겠습니다. 14번 문제에서 V={(a1,a2):ai∈C, i=1,2}를 만족하는 벡터 u=(1+i,2)와 스칼라 c= i를 스칼라 곱했을 때 결과는 (-1+i,2i)이 됩니다. 이때 결과 벡터의 성분이 실수가 아니라 복소수인데 왜 이것을 R-벡터공간이다 라고 할 수 있는 건가요? 또한 15번 문제에서  V={(a1,a2):ai∈R, i=1,2}를 만족하는 벡터 u=(3,-2,0)와 v=(-1,1,4)를 합했을 때 결과는 (2,-1,4)입니다. 이때 결과 벡터의 성분은 실수이지만 실수가 복소수에 포함되므로 이것을 R-벡터공간이면서 C-벡터공간이다 라고 할 수 있지 않나요? 물론 정답은 C-벡터공간이 아니다 라고 되어 있어서 궁금해졌습니다.

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ㅇㅇ

2022-06-05 14:52:15 답글

먼저 벡터의 성분은 여기서 전혀 중요하지 않음
R-벡터공간이면 벡터의 각 성분이 실수여야한다고 생각한다면 벡터공간의 정의를 다시 살펴보길 바람

벡터공간의 정의는 벡터 v와 w, 스칼라 c에 대해 서술되어있지 v의 성분이 어떠해야한다고 나오지 않음

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ㅇㅇ

2022-06-05 14:55:19 답글

C-벡터공간이 되려면 복소수인 c에 대해서 cv가 정의되어야하고 이것이 기존의 공간에 들어가야하는데 이것을 확인하지 않고 사례 하나만 가지고 C-벡터공간이라고 주장하는 것은 보고싶은 것만 보는 것과 같음

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권보아

2022-06-05 14:57:55 답글

그런것이었군요.. 이해하기 위해 노력하겠습니다. 어디에서도 쉽게 얻을 수 없는 귀중한 지식을 알려주셔서 정말 진심으로 감사드립니다.

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권보아

2022-06-05 15:11:15 답글

제가 님께서 알려주신 내용을 토대로 14번 V={(a1,a2,...,an):ai∈C, i=1,2,...,n}이 벡터공간이고 예제1에서 정의한대로 합과 스칼라 곱을 계산하면 u,v∈C^n, c∈C에 대해 u+v∈C^n, cu∈C^n이다. 벡터합과 스칼라곱이 모든 복소수 C에 대해 참이므로 이 두 연산은 모든 실수 R에 대해 참이 된다. 따라서 V는 R-벡터공간이다. 15번 V={(a1,a2,...,an):ai∈R, i=1,2,...,n}이 벡터공간이고 예제1에서 정의한대로 합과 스칼라 곱을 계산하면 u,v∈R^n, c∈R에 대해 u+v∈R^n, cu∈R^n이다. 벡터합과 스칼라곱이 모든 실수 R에 대해 참이지만 이 벡터공간 V는 복소수에 대한 벡터합과 스칼라곱이 정의되어 있지 않으므로 C-벡터공간이 아니다. 이렇게 풀어보았습니다. 제가 제대로 이해한 것이 맞는지 살펴봐주시면 감사드리겠습니다.

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ㅇㅇ

2022-06-05 16:04:49 답글